Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72016 / 75580
↖ ↑ ↗
← S 26.578703°
E 17.797852°		 ← 273.15 m → S 26.578703°
E 17.800598°		 →
↑
273.12 m
↓
↑
273.12 m
↓
S 26.581159°
E 17.797852°		 ← 273.14 m →
74 603 m²		 S 26.581159°
E 17.800598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549442291259766 y=0.576633453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549442291259766 × 217)
    floor (0.549442291259766 × 131072)
    floor (72016.5)     		tx = 72016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576633453369141 × 217)
    floor (0.576633453369141 × 131072)
    floor (75580.5)     		ty = 75580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72016 / 75580 ti = "17/72016/75580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72016/75580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72016 ÷ 217
    72016 ÷ 131072     		x = 0.5494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75580 ÷ 217
    75580 ÷ 131072     		y = 0.576629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5494384765625 × 2 - 1) × π
    0.098876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31063111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.15325927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.481478219783844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31063111} λ = 0.31063111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481478219783844))-π/2
    2×atan(0.617869369683689)-π/2
    2×0.553455230652056-π/2
    1.10691046130411-1.57079632675     		φ = -0.46388587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31063111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.797852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46388587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.578703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72016 KachelY 75580 0.31063111 -0.46388587 17.797852 -26.578703
    Oben rechts KachelX + 1 72017 KachelY 75580 0.31067905 -0.46388587 17.800598 -26.578703
    Unten links KachelX 72016 KachelY + 1 75581 0.31063111 -0.46392874 17.797852 -26.581159
    Unten rechts KachelX + 1 72017 KachelY + 1 75581 0.31067905 -0.46392874 17.800598 -26.581159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46388587--0.46392874) × R
    4.28700000000282e-05 × 6371000     		dl = 273.124770000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46388587--0.46392874) × R
    4.28700000000282e-05 × 6371000     		dr = 273.124770000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31063111-0.31067905) × cos(-0.46388587) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89432061205525 × 6371000     		do = 273.148534734365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31063111-0.31067905) × cos(-0.46392874) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894301430051251 × 6371000     		du = 273.142676056599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46388587)-sin(-0.46392874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89432061205525-0.894301430051251)×R²
    abs(0.31067905-0.31063111)×1.91820039987523e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91820039987523e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91820039987523e-05×40589641000000     		ar = 74602.8306616214m²