Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72015 / 75578
↖ ↑ ↗
← S 26.573789°
E 17.795105°		 ← 273.16 m → S 26.573789°
E 17.797852°		 →
↑
273.12 m
↓
↑
273.12 m
↓
S 26.576246°
E 17.795105°		 ← 273.15 m →
74 606 m²		 S 26.576246°
E 17.797852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549434661865234 y=0.576618194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549434661865234 × 217)
    floor (0.549434661865234 × 131072)
    floor (72015.5)     		tx = 72015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576618194580078 × 217)
    floor (0.576618194580078 × 131072)
    floor (75578.5)     		ty = 75578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72015 / 75578 ti = "17/72015/75578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72015/75578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72015 ÷ 217
    72015 ÷ 131072     		x = 0.549430847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75578 ÷ 217
    75578 ÷ 131072     		y = 0.576614379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549430847167969 × 2 - 1) × π
    0.0988616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31058317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576614379882812 × 2 - 1) × π
    -0.153228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.481382345984604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31058317} λ = 0.31058317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481382345984604))-π/2
    2×atan(0.617928610007347)-π/2
    2×0.553498102529028-π/2
    1.10699620505806-1.57079632675     		φ = -0.46380012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31058317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.795105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46380012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.573789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72015 KachelY 75578 0.31058317 -0.46380012 17.795105 -26.573789
    Oben rechts KachelX + 1 72016 KachelY 75578 0.31063111 -0.46380012 17.797852 -26.573789
    Unten links KachelX 72015 KachelY + 1 75579 0.31058317 -0.46384299 17.795105 -26.576246
    Unten rechts KachelX + 1 72016 KachelY + 1 75579 0.31063111 -0.46384299 17.797852 -26.576246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46380012--0.46384299) × R
    4.28700000000282e-05 × 6371000     		dl = 273.124770000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46380012--0.46384299) × R
    4.28700000000282e-05 × 6371000     		dr = 273.124770000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31058317-0.31063111) × cos(-0.46380012) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894358975605866 × 6371000     		do = 273.160251949884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31058317-0.31063111) × cos(-0.46384299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894339796889517 × 6371000     		du = 273.154394276251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46380012)-sin(-0.46384299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894358975605866-0.894339796889517)×R²
    abs(0.31063111-0.31058317)×1.91787163491552e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91787163491552e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91787163491552e-05×40589641000000     		ar = 74606.0310604988m²