Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72015 / 75576
↖ ↑ ↗
← S 26.568876°
E 17.795105°		 ← 273.17 m → S 26.568876°
E 17.797852°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
S 26.571333°
E 17.795105°		 ← 273.17 m →
74 627 m²		 S 26.571333°
E 17.797852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549434661865234 y=0.576602935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549434661865234 × 217)
    floor (0.549434661865234 × 131072)
    floor (72015.5)     		tx = 72015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576602935791016 × 217)
    floor (0.576602935791016 × 131072)
    floor (75576.5)     		ty = 75576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72015 / 75576 ti = "17/72015/75576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72015/75576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72015 ÷ 217
    72015 ÷ 131072     		x = 0.549430847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75576 ÷ 217
    75576 ÷ 131072     		y = 0.57659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549430847167969 × 2 - 1) × π
    0.0988616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31058317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57659912109375 × 2 - 1) × π
    -0.1531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.481286472185364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31058317} λ = 0.31058317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481286472185364))-π/2
    2×atan(0.617987856010872)-π/2
    2×0.553540976244778-π/2
    1.10708195248956-1.57079632675     		φ = -0.46371437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31058317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.795105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46371437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.568876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72015 KachelY 75576 0.31058317 -0.46371437 17.795105 -26.568876
    Oben rechts KachelX + 1 72016 KachelY 75576 0.31063111 -0.46371437 17.797852 -26.568876
    Unten links KachelX 72015 KachelY + 1 75577 0.31058317 -0.46375725 17.795105 -26.571333
    Unten rechts KachelX + 1 72016 KachelY + 1 75577 0.31063111 -0.46375725 17.797852 -26.571333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46371437--0.46375725) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dl = 273.188480000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46371437--0.46375725) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dr = 273.188480000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31058317-0.31063111) × cos(-0.46371437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894397332580204 × 6371000     		do = 273.171967157156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31058317-0.31063111) × cos(-0.46375725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894378152678529 × 6371000     		du = 273.166109121494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46371437)-sin(-0.46375725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894397332580204-0.894378152678529)×R²
    abs(0.31063111-0.31058317)×1.91799016752148e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91799016752148e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91799016752148e-05×40589641000000     		ar = 74626.6343238054m²