Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7201 / 4777
↖ ↑ ↗
← N 59.789580°
W 21.774902°		 ← 1 229.40 m → N 59.789580°
W 21.752929°		 →
↑
1 229.60 m
↓
↑
1 229.60 m
↓
N 59.778522°
W 21.774902°		 ← 1 229.81 m →
1 511 927 m²		 N 59.778522°
W 21.752929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439544677734375 y=0.291595458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439544677734375 × 214)
    floor (0.439544677734375 × 16384)
    floor (7201.5)     		tx = 7201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291595458984375 × 214)
    floor (0.291595458984375 × 16384)
    floor (4777.5)     		ty = 4777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7201 / 4777 ti = "14/7201/4777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7201/4777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7201 ÷ 214
    7201 ÷ 16384     		x = 0.43951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4777 ÷ 214
    4777 ÷ 16384     		y = 0.29156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38004374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29156494140625 × 2 - 1) × π
    0.4168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30963609761993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38004374} λ = -0.38004374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30963609761993))-π/2
    2×atan(3.70482527214054)-π/2
    2×1.30716067768837-π/2
    2.61432135537674-1.57079632675     		φ = 1.04352503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38004374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.774902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04352503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.789580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7201 KachelY 4777 -0.38004374 1.04352503 -21.774902 59.789580
    Oben rechts KachelX + 1 7202 KachelY 4777 -0.37966024 1.04352503 -21.752929 59.789580
    Unten links KachelX 7201 KachelY + 1 4778 -0.38004374 1.04333203 -21.774902 59.778522
    Unten rechts KachelX + 1 7202 KachelY + 1 4778 -0.37966024 1.04333203 -21.752929 59.778522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04352503-1.04333203) × R
    0.00019300000000011 × 6371000     		dl = 1229.6030000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04352503-1.04333203) × R
    0.00019300000000011 × 6371000     		dr = 1229.6030000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38004374--0.37966024) × cos(1.04352503) × R
    0.000383500000000037 × 0.503177117653555 × 6371000     		do = 1229.40183325502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38004374--0.37966024) × cos(1.04333203) × R
    0.000383500000000037 × 0.503343895659368 × 6371000     		du = 1229.80931837089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04352503)-sin(1.04333203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503177117653555-0.503343895659368)×R²
    abs(-0.37966024--0.38004374)×0.000166778005812662×R²
    0.000383500000000037×0.000166778005812662×6371000²
    0.000383500000000037×0.000166778005812662×40589641000000     		ar = 1511926.70953035m²