Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7201 / 10723
↖ ↑ ↗
← S 48.502047°
W 21.774902°		 ← 1 618.90 m → S 48.502047°
W 21.752929°		 →
↑
1 618.68 m
↓
↑
1 618.68 m
↓
S 48.516604°
W 21.774902°		 ← 1 618.43 m →
2 620 105 m²		 S 48.516604°
W 21.752929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439544677734375 y=0.654510498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439544677734375 × 214)
    floor (0.439544677734375 × 16384)
    floor (7201.5)     		tx = 7201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654510498046875 × 214)
    floor (0.654510498046875 × 16384)
    floor (10723.5)     		ty = 10723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7201 / 10723 ti = "14/7201/10723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7201/10723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7201 ÷ 214
    7201 ÷ 16384     		x = 0.43951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10723 ÷ 214
    10723 ÷ 16384     		y = 0.65447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38004374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.3089599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.970626343506897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38004374} λ = -0.38004374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970626343506897))-π/2
    2×atan(0.378845676246697)-π/2
    2×0.36213795194392-π/2
    0.72427590388784-1.57079632675     		φ = -0.84652042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38004374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.774902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84652042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.502047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7201 KachelY 10723 -0.38004374 -0.84652042 -21.774902 -48.502047
    Oben rechts KachelX + 1 7202 KachelY 10723 -0.37966024 -0.84652042 -21.752929 -48.502047
    Unten links KachelX 7201 KachelY + 1 10724 -0.38004374 -0.84677449 -21.774902 -48.516604
    Unten rechts KachelX + 1 7202 KachelY + 1 10724 -0.37966024 -0.84677449 -21.752929 -48.516604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84652042--0.84677449) × R
    0.000254069999999995 × 6371000     		dl = 1618.67996999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84652042--0.84677449) × R
    0.000254069999999995 × 6371000     		dr = 1618.67996999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38004374--0.37966024) × cos(-0.84652042) × R
    0.000383500000000037 × 0.662593285520656 × 6371000     		do = 1618.89992875713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38004374--0.37966024) × cos(-0.84677449) × R
    0.000383500000000037 × 0.662402970941446 × 6371000     		du = 1618.43493723751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84652042)-sin(-0.84677449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662593285520656-0.662402970941446)×R²
    abs(-0.37966024--0.38004374)×0.000190314579209705×R²
    0.000383500000000037×0.000190314579209705×6371000²
    0.000383500000000037×0.000190314579209705×40589641000000     		ar = 2620104.56597872m²