Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72002 / 78666
↖ ↑ ↗
← S 33.893218°
E 17.759399°		 ← 253.53 m → S 33.893218°
E 17.762146°		 →
↑
253.50 m
↓
↑
253.50 m
↓
S 33.895497°
E 17.759399°		 ← 253.52 m →
64 269 m²		 S 33.895497°
E 17.762146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549335479736328 y=0.600177764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549335479736328 × 217)
    floor (0.549335479736328 × 131072)
    floor (72002.5)     		tx = 72002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600177764892578 × 217)
    floor (0.600177764892578 × 131072)
    floor (78666.5)     		ty = 78666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72002 / 78666 ti = "17/72002/78666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72002/78666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72002 ÷ 217
    72002 ÷ 131072     		x = 0.549331665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78666 ÷ 217
    78666 ÷ 131072     		y = 0.600173950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549331665039062 × 2 - 1) × π
    0.098663330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30995999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600173950195312 × 2 - 1) × π
    -0.200347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.629411492011337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30995999} λ = 0.30995999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.629411492011337))-π/2
    2×atan(0.532905327783944)-π/2
    2×0.489624044722211-π/2
    0.979248089444422-1.57079632675     		φ = -0.59154824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30995999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.759399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59154824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.893218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72002 KachelY 78666 0.30995999 -0.59154824 17.759399 -33.893218
    Oben rechts KachelX + 1 72003 KachelY 78666 0.31000793 -0.59154824 17.762146 -33.893218
    Unten links KachelX 72002 KachelY + 1 78667 0.30995999 -0.59158803 17.759399 -33.895497
    Unten rechts KachelX + 1 72003 KachelY + 1 78667 0.31000793 -0.59158803 17.762146 -33.895497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59154824--0.59158803) × R
    3.9790000000095e-05 × 6371000     		dl = 253.502090000605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59154824--0.59158803) × R
    3.9790000000095e-05 × 6371000     		dr = 253.502090000605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30995999-0.31000793) × cos(-0.59154824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.830078303152405 × 6371000     		do = 253.527279998101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30995999-0.31000793) × cos(-0.59158803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.830056113727094 × 6371000     		du = 253.520502776455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59154824)-sin(-0.59158803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830078303152405-0.830056113727094)×R²
    abs(0.31000793-0.30995999)×2.21894253110699e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21894253110699e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21894253110699e-05×40589641000000     		ar = 64268.8363402329m²