Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72000 / 95806
↖ ↑ ↗
← S 63.624305°
E 17.753906°		 ← 135.69 m → S 63.624305°
E 17.756653°		 →
↑
135.64 m
↓
↑
135.64 m
↓
S 63.625524°
E 17.753906°		 ← 135.68 m →
18 404 m²		 S 63.625524°
E 17.756653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549320220947266 y=0.730945587158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549320220947266 × 217)
    floor (0.549320220947266 × 131072)
    floor (72000.5)     		tx = 72000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730945587158203 × 217)
    floor (0.730945587158203 × 131072)
    floor (95806.5)     		ty = 95806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72000 / 95806 ti = "17/72000/95806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72000/95806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72000 ÷ 217
    72000 ÷ 131072     		x = 0.54931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95806 ÷ 217
    95806 ÷ 131072     		y = 0.730941772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54931640625 × 2 - 1) × π
    0.0986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30986412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730941772460938 × 2 - 1) × π
    -0.461883544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4510499514991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30986412} λ = 0.30986412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4510499514991))-π/2
    2×atan(0.234324129917856)-π/2
    2×0.230171365520023-π/2
    0.460342731040045-1.57079632675     		φ = -1.11045360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30986412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.753906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11045360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.624305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72000 KachelY 95806 0.30986412 -1.11045360 17.753906 -63.624305
    Oben rechts KachelX + 1 72001 KachelY 95806 0.30991206 -1.11045360 17.756653 -63.624305
    Unten links KachelX 72000 KachelY + 1 95807 0.30986412 -1.11047489 17.753906 -63.625524
    Unten rechts KachelX + 1 72001 KachelY + 1 95807 0.30991206 -1.11047489 17.756653 -63.625524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11045360--1.11047489) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dl = 135.638590000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11045360--1.11047489) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dr = 135.638590000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30986412-0.30991206) × cos(-1.11045360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444255182086604 × 6371000     		do = 135.686967737547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30986412-0.30991206) × cos(-1.11047489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444236108268706 × 6371000     		du = 135.681142102601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11045360)-sin(-1.11047489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444255182086604-0.444236108268706)×R²
    abs(0.30991206-0.30986412)×1.90738178975636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90738178975636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90738178975636e-05×40589641000000     		ar = 18403.9938956415m²