Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7200 / 5086
↖ ↑ ↗
← N 76.925585°
W100.898437°		 ← 276.34 m → N 76.925585°
W100.887451°		 →
↑
276.37 m
↓
↑
276.37 m
↓
N 76.923100°
W100.898437°		 ← 276.39 m →
76 380 m²		 N 76.923100°
W100.887451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219741821289062 y=0.155227661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219741821289062 × 215)
    floor (0.219741821289062 × 32768)
    floor (7200.5)     		tx = 7200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155227661132812 × 215)
    floor (0.155227661132812 × 32768)
    floor (5086.5)     		ty = 5086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7200 / 5086 ti = "15/7200/5086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7200/5086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7200 ÷ 215
    7200 ÷ 32768     		x = 0.2197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5086 ÷ 215
    5086 ÷ 32768     		y = 0.15521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2197265625 × 2 - 1) × π
    -0.560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76100994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15521240234375 × 2 - 1) × π
    0.6895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16636436762958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76100994} λ = -1.76100994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16636436762958))-π/2
    2×atan(8.72649995241285)-π/2
    2×1.4567005322116-π/2
    2.9134010644232-1.57079632675     		φ = 1.34260474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76100994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34260474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.925585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7200 KachelY 5086 -1.76100994 1.34260474 -100.898437 76.925585
    Oben rechts KachelX + 1 7201 KachelY 5086 -1.76081820 1.34260474 -100.887451 76.925585
    Unten links KachelX 7200 KachelY + 1 5087 -1.76100994 1.34256136 -100.898437 76.923100
    Unten rechts KachelX + 1 7201 KachelY + 1 5087 -1.76081820 1.34256136 -100.887451 76.923100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34260474-1.34256136) × R
    4.33800000001483e-05 × 6371000     		dl = 276.373980000945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34260474-1.34256136) × R
    4.33800000001483e-05 × 6371000     		dr = 276.373980000945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76100994--1.76081820) × cos(1.34260474) × R
    0.000191740000000218 × 0.226216360544837 × 6371000     		do = 276.340372789709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76100994--1.76081820) × cos(1.34256136) × R
    0.000191740000000218 × 0.226258615795715 × 6371000     		du = 276.391990770617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34260474)-sin(1.34256136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226216360544837-0.226258615795715)×R²
    abs(-1.76081820--1.76100994)×4.22552508773932e-05×R²
    0.000191740000000218×4.22552508773932e-05×6371000²
    0.000191740000000218×4.22552508773932e-05×40589641000000     		ar = 76380.4216085705m²