Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 720 / 880
↖ ↑ ↗
← N 24.527135°
W 53.437500°		 ← 17.782 km → N 24.527135°
W 53.261719°		 →
↑
17.794 km
↓
↑
17.794 km
↓
N 24.367114°
W 53.437500°		 ← 17.805 km →
316.611 km²		 N 24.367114°
W 53.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351806640625 y=0.429931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351806640625 × 211)
    floor (0.351806640625 × 2048)
    floor (720.5)     		tx = 720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429931640625 × 211)
    floor (0.429931640625 × 2048)
    floor (880.5)     		ty = 880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 720 / 880 ti = "11/720/880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/720/880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 720 ÷ 211
    720 ÷ 2048     		x = 0.3515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 880 ÷ 211
    880 ÷ 2048     		y = 0.4296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3515625 × 2 - 1) × π
    -0.296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4296875 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93266032} λ = -0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441786466898437))-π/2
    2×atan(1.55548355774086)-π/2
    2×0.999437792759148-π/2
    1.9988755855183-1.57079632675     		φ = 0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 720 KachelY 880 -0.93266032 0.42807926 -53.437500 24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 721 KachelY 880 -0.92959236 0.42807926 -53.261719 24.527135
    Unten links KachelX 720 KachelY + 1 881 -0.93266032 0.42528636 -53.437500 24.367114
    Unten rechts KachelX + 1 721 KachelY + 1 881 -0.92959236 0.42528636 -53.261719 24.367114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42807926-0.42528636) × R
    0.00279290000000004 × 6371000     		dl = 17793.5659000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42807926-0.42528636) × R
    0.00279290000000004 × 6371000     		dr = 17793.5659000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93266032--0.92959236) × cos(0.42807926) × R
    0.00306795999999998 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 17782.2378332269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93266032--0.92959236) × cos(0.42528636) × R
    0.00306795999999998 × 0.910920623423066 × 6371000     		du = 17804.8300563176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42807926)-sin(0.42528636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.910920623423066)×R²
    abs(-0.92959236--0.93266032)×0.00115585051231415×R²
    0.00306795999999998×0.00115585051231415×6371000²
    0.00306795999999998×0.00115585051231415×40589641000000     		ar = 316610624.644791m²