Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 72 / 198
↖ ↑ ↗
← S 69.657086°
W 78.750000°		 ← 54.359 km → S 69.657086°
W 77.343750°		 →
↑
53.738 km
↓
↑
53.738 km
↓
S 70.140365°
W 78.750000°		 ← 53.121 km →
2 887.91 km²		 S 70.140365°
W 77.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283203125 y=0.775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283203125 × 28)
    floor (0.283203125 × 256)
    floor (72.5)     		tx = 72
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775390625 × 28)
    floor (0.775390625 × 256)
    floor (198.5)     		ty = 198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 72 / 198 ti = "8/72/198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/72/198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72 ÷ 28
    72 ÷ 256     		x = 0.28125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 198 ÷ 28
    198 ÷ 256     		y = 0.7734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28125 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7734375 × 2 - 1) × π
    -0.546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37444679} λ = -1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71805848238281))-π/2
    2×atan(0.179414145704914)-π/2
    2×0.177525412001084-π/2
    0.355050824002167-1.57079632675     		φ = -1.21574550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21574550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.657086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72 KachelY 198 -1.37444679 -1.21574550 -78.750000 -69.657086
    Oben rechts KachelX + 1 73 KachelY 198 -1.34990309 -1.21574550 -77.343750 -69.657086
    Unten links KachelX 72 KachelY + 1 199 -1.37444679 -1.22418030 -78.750000 -70.140365
    Unten rechts KachelX + 1 73 KachelY + 1 199 -1.34990309 -1.22418030 -77.343750 -70.140365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21574550--1.22418030) × R
    0.00843480000000008 × 6371000     		dl = 53738.1108000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21574550--1.22418030) × R
    0.00843480000000008 × 6371000     		dr = 53738.1108000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37444679--1.34990309) × cos(-1.21574550) × R
    0.0245436999999999 × 0.347638022352561 × 6371000     		do = 54359.4319304257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37444679--1.34990309) × cos(-1.22418030) × R
    0.0245436999999999 × 0.339717038125863 × 6371000     		du = 53120.8441603675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21574550)-sin(-1.22418030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347638022352561-0.339717038125863)×R²
    abs(-1.34990309--1.37444679)×0.00792098422669707×R²
    0.0245436999999999×0.00792098422669707×6371000²
    0.0245436999999999×0.00792098422669707×40589641000000     		ar = 2887910614.61599m²