Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71999 / 78528
↖ ↑ ↗
← S 33.578015°
E 17.751160°		 ← 254.46 m → S 33.578015°
E 17.753906°		 →
↑
254.46 m
↓
↑
254.46 m
↓
S 33.580303°
E 17.751160°		 ← 254.45 m →
64 749 m²		 S 33.580303°
E 17.753906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549312591552734 y=0.599124908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549312591552734 × 217)
    floor (0.549312591552734 × 131072)
    floor (71999.5)     		tx = 71999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599124908447266 × 217)
    floor (0.599124908447266 × 131072)
    floor (78528.5)     		ty = 78528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71999 / 78528 ti = "17/71999/78528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71999/78528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71999 ÷ 217
    71999 ÷ 131072     		x = 0.549308776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78528 ÷ 217
    78528 ÷ 131072     		y = 0.59912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549308776855469 × 2 - 1) × π
    0.0986175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30981618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59912109375 × 2 - 1) × π
    -0.1982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.62279619986377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30981618} λ = 0.30981618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62279619986377))-π/2
    2×atan(0.536442338494915)-π/2
    2×0.492374706603153-π/2
    0.984749413206306-1.57079632675     		φ = -0.58604691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30981618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.751160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58604691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.578015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71999 KachelY 78528 0.30981618 -0.58604691 17.751160 -33.578015
    Oben rechts KachelX + 1 72000 KachelY 78528 0.30986412 -0.58604691 17.753906 -33.578015
    Unten links KachelX 71999 KachelY + 1 78529 0.30981618 -0.58608685 17.751160 -33.580303
    Unten rechts KachelX + 1 72000 KachelY + 1 78529 0.30986412 -0.58608685 17.753906 -33.580303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58604691--0.58608685) × R
    3.99400000000716e-05 × 6371000     		dl = 254.457740000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58604691--0.58608685) × R
    3.99400000000716e-05 × 6371000     		dr = 254.457740000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30981618-0.30986412) × cos(-0.58604691) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833133526054537 × 6371000     		do = 254.460423714144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30981618-0.30986412) × cos(-0.58608685) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833111435698305 × 6371000     		du = 254.453676750745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58604691)-sin(-0.58608685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833133526054537-0.833111435698305)×R²
    abs(0.30986412-0.30981618)×2.20903562320185e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20903562320185e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20903562320185e-05×40589641000000     		ar = 64748.5659378576m²