Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7199 / 7204
↖ ↑ ↗
← N 70.480896°
W100.909424°		 ← 408.18 m → N 70.480896°
W100.898437°		 →
↑
408.19 m
↓
↑
408.19 m
↓
N 70.477225°
W100.909424°		 ← 408.25 m →
166 628 m²		 N 70.477225°
W100.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219711303710938 y=0.219863891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219711303710938 × 215)
    floor (0.219711303710938 × 32768)
    floor (7199.5)     		tx = 7199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219863891601562 × 215)
    floor (0.219863891601562 × 32768)
    floor (7204.5)     		ty = 7204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7199 / 7204 ti = "15/7199/7204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7199/7204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7199 ÷ 215
    7199 ÷ 32768     		x = 0.219696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7204 ÷ 215
    7204 ÷ 32768     		y = 0.2198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.56060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76120169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2198486328125 × 2 - 1) × π
    0.560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76024295404846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76120169} λ = -1.76120169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76024295404846))-π/2
    2×atan(5.81384972115729)-π/2
    2×1.40046000902448-π/2
    2.80092001804896-1.57079632675     		φ = 1.23012369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76120169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.909424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23012369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.480896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7199 KachelY 7204 -1.76120169 1.23012369 -100.909424 70.480896
    Oben rechts KachelX + 1 7200 KachelY 7204 -1.76100994 1.23012369 -100.898437 70.480896
    Unten links KachelX 7199 KachelY + 1 7205 -1.76120169 1.23005962 -100.909424 70.477225
    Unten rechts KachelX + 1 7200 KachelY + 1 7205 -1.76100994 1.23005962 -100.898437 70.477225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23012369-1.23005962) × R
    6.40700000000827e-05 × 6371000     		dl = 408.189970000527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23012369-1.23005962) × R
    6.40700000000827e-05 × 6371000     		dr = 408.189970000527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76120169--1.76100994) × cos(1.23012369) × R
    0.000191749999999935 × 0.334121148128101 × 6371000     		do = 408.175508808214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76120169--1.76100994) × cos(1.23005962) × R
    0.000191749999999935 × 0.334181535348133 × 6371000     		du = 408.249280206404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23012369)-sin(1.23005962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334121148128101-0.334181535348133)×R²
    abs(-1.76100994--1.76120169)×6.03872200320432e-05×R²
    0.000191749999999935×6.03872200320432e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.03872200320432e-05×40589641000000     		ar = 166628.205124862m²