Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71987 / 75565
↖ ↑ ↗
← S 26.541852°
E 17.718201°		 ← 273.24 m → S 26.541852°
E 17.720947°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
S 26.544308°
E 17.718201°		 ← 273.23 m →
74 644 m²		 S 26.544308°
E 17.720947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549221038818359 y=0.576519012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549221038818359 × 217)
    floor (0.549221038818359 × 131072)
    floor (71987.5)     		tx = 71987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576519012451172 × 217)
    floor (0.576519012451172 × 131072)
    floor (75565.5)     		ty = 75565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71987 / 75565 ti = "17/71987/75565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71987/75565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71987 ÷ 217
    71987 ÷ 131072     		x = 0.549217224121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75565 ÷ 217
    75565 ÷ 131072     		y = 0.576515197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549217224121094 × 2 - 1) × π
    0.0984344482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30924094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576515197753906 × 2 - 1) × π
    -0.153030395507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.480759166289543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30924094} λ = 0.30924094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480759166289543))-π/2
    2×atan(0.618313810582223)-π/2
    2×0.553776814538986-π/2
    1.10755362907797-1.57079632675     		φ = -0.46324270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30924094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.718201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46324270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.541852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71987 KachelY 75565 0.30924094 -0.46324270 17.718201 -26.541852
    Oben rechts KachelX + 1 71988 KachelY 75565 0.30928888 -0.46324270 17.720947 -26.541852
    Unten links KachelX 71987 KachelY + 1 75566 0.30924094 -0.46328558 17.718201 -26.544308
    Unten rechts KachelX + 1 71988 KachelY + 1 75566 0.30928888 -0.46328558 17.720947 -26.544308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46324270--0.46328558) × R
    4.28799999999674e-05 × 6371000     		dl = 273.188479999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46324270--0.46328558) × R
    4.28799999999674e-05 × 6371000     		dr = 273.188479999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30924094-0.30928888) × cos(-0.46324270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89460819848382 × 6371000     		do = 273.236371031808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30924094-0.30928888) × cos(-0.46328558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894589036673457 × 6371000     		du = 273.230518521699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46324270)-sin(-0.46328558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89460819848382-0.894589036673457)×R²
    abs(0.30928888-0.30924094)×1.91618103627667e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91618103627667e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91618103627667e-05×40589641000000     		ar = 74644.229475106m²