Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71986 / 75575
↖ ↑ ↗
← S 26.566420°
E 17.715454°		 ← 273.18 m → S 26.566420°
E 17.718201°		 →
↑
273.12 m
↓
↑
273.12 m
↓
S 26.568876°
E 17.715454°		 ← 273.17 m →
74 611 m²		 S 26.568876°
E 17.718201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549213409423828 y=0.576595306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549213409423828 × 217)
    floor (0.549213409423828 × 131072)
    floor (71986.5)     		tx = 71986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576595306396484 × 217)
    floor (0.576595306396484 × 131072)
    floor (75575.5)     		ty = 75575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71986 / 75575 ti = "17/71986/75575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71986/75575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71986 ÷ 217
    71986 ÷ 131072     		x = 0.549209594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75575 ÷ 217
    75575 ÷ 131072     		y = 0.576591491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549209594726562 × 2 - 1) × π
    0.098419189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30919300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576591491699219 × 2 - 1) × π
    -0.153182983398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.481238535285744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30919300} λ = 0.30919300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481238535285744))-π/2
    2×atan(0.618017481142755)-π/2
    2×0.553562413792121-π/2
    1.10712482758424-1.57079632675     		φ = -0.46367150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30919300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.715454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46367150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.566420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71986 KachelY 75575 0.30919300 -0.46367150 17.715454 -26.566420
    Oben rechts KachelX + 1 71987 KachelY 75575 0.30924094 -0.46367150 17.718201 -26.566420
    Unten links KachelX 71986 KachelY + 1 75576 0.30919300 -0.46371437 17.715454 -26.568876
    Unten rechts KachelX + 1 71987 KachelY + 1 75576 0.30924094 -0.46371437 17.718201 -26.568876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46367150--0.46371437) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dl = 273.124769999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46367150--0.46371437) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dr = 273.124769999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30919300-0.30924094) × cos(-0.46367150) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894416506365007 × 6371000     		do = 273.177823324884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30919300-0.30924094) × cos(-0.46371437) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894397332580204 × 6371000     		du = 273.171967157472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46367150)-sin(-0.46371437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894416506365007-0.894397332580204)×R²
    abs(0.30924094-0.30919300)×1.91737848023177e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91737848023177e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91737848023177e-05×40589641000000     		ar = 74610.8304438899m²