Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71984 / 75573
↖ ↑ ↗
← S 26.561507°
E 17.709961°		 ← 273.19 m → S 26.561507°
E 17.712708°		 →
↑
273.12 m
↓
↑
273.12 m
↓
S 26.563963°
E 17.709961°		 ← 273.18 m →
74 614 m²		 S 26.563963°
E 17.712708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549198150634766 y=0.576580047607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549198150634766 × 217)
    floor (0.549198150634766 × 131072)
    floor (71984.5)     		tx = 71984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576580047607422 × 217)
    floor (0.576580047607422 × 131072)
    floor (75573.5)     		ty = 75573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71984 / 75573 ti = "17/71984/75573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71984/75573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71984 ÷ 217
    71984 ÷ 131072     		x = 0.5491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75573 ÷ 217
    75573 ÷ 131072     		y = 0.576576232910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5491943359375 × 2 - 1) × π
    0.098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30909713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576576232910156 × 2 - 1) × π
    -0.153152465820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.481142661486504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30909713} λ = 0.30909713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481142661486504))-π/2
    2×atan(0.618076735667102)-π/2
    2×0.553605290265594-π/2
    1.10721058053119-1.57079632675     		φ = -0.46358575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30909713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.709961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46358575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.561507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71984 KachelY 75573 0.30909713 -0.46358575 17.709961 -26.561507
    Oben rechts KachelX + 1 71985 KachelY 75573 0.30914507 -0.46358575 17.712708 -26.561507
    Unten links KachelX 71984 KachelY + 1 75574 0.30909713 -0.46362862 17.709961 -26.563963
    Unten rechts KachelX + 1 71985 KachelY + 1 75574 0.30914507 -0.46362862 17.712708 -26.563963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46358575--0.46362862) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dl = 273.124769999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46358575--0.46362862) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dr = 273.124769999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30909713-0.30914507) × cos(-0.46358575) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894454853474784 × 6371000     		do = 273.189535519265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30909713-0.30914507) × cos(-0.46362862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894435682977984 × 6371000     		du = 273.183680356093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46358575)-sin(-0.46362862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894454853474784-0.894435682977984)×R²
    abs(0.30914507-0.30909713)×1.91704968002249e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91704968002249e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91704968002249e-05×40589641000000     		ar = 74614.0294714656m²