Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71983 / 75574
↖ ↑ ↗
← S 26.563963°
E 17.707214°		 ← 273.18 m → S 26.563963°
E 17.709961°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
S 26.566420°
E 17.707214°		 ← 273.18 m →
74 630 m²		 S 26.566420°
E 17.709961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549190521240234 y=0.576587677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549190521240234 × 217)
    floor (0.549190521240234 × 131072)
    floor (71983.5)     		tx = 71983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576587677001953 × 217)
    floor (0.576587677001953 × 131072)
    floor (75574.5)     		ty = 75574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71983 / 75574 ti = "17/71983/75574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71983/75574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71983 ÷ 217
    71983 ÷ 131072     		x = 0.549186706542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75574 ÷ 217
    75574 ÷ 131072     		y = 0.576583862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549186706542969 × 2 - 1) × π
    0.0983734130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30904919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576583862304688 × 2 - 1) × π
    -0.153167724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.481190598386124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30904919} λ = 0.30904919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481190598386124))-π/2
    2×atan(0.618047107694809)-π/2
    2×0.553583851799069-π/2
    1.10716770359814-1.57079632675     		φ = -0.46362862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30904919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.707214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46362862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.563963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71983 KachelY 75574 0.30904919 -0.46362862 17.707214 -26.563963
    Oben rechts KachelX + 1 71984 KachelY 75574 0.30909713 -0.46362862 17.709961 -26.563963
    Unten links KachelX 71983 KachelY + 1 75575 0.30904919 -0.46367150 17.707214 -26.566420
    Unten rechts KachelX + 1 71984 KachelY + 1 75575 0.30909713 -0.46367150 17.709961 -26.566420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46362862--0.46367150) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dl = 273.188480000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46362862--0.46367150) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dr = 273.188480000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30904919-0.30909713) × cos(-0.46362862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894435682977984 × 6371000     		do = 273.183680356093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30904919-0.30909713) × cos(-0.46367150) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894416506365007 × 6371000     		du = 273.177823324884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46362862)-sin(-0.46367150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894435682977984-0.894416506365007)×R²
    abs(0.30909713-0.30904919)×1.91766129767901e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91766129767901e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91766129767901e-05×40589641000000     		ar = 74629.8343720153m²