Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71981 / 75571
↖ ↑ ↗
← S 26.556593°
E 17.701721°		 ← 273.14 m → S 26.556593°
E 17.704467°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
S 26.559050°
E 17.701721°		 ← 273.14 m →
74 619 m²		 S 26.559050°
E 17.704467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549175262451172 y=0.576564788818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549175262451172 × 217)
    floor (0.549175262451172 × 131072)
    floor (71981.5)     		tx = 71981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576564788818359 × 217)
    floor (0.576564788818359 × 131072)
    floor (75571.5)     		ty = 75571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71981 / 75571 ti = "17/71981/75571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71981/75571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71981 ÷ 217
    71981 ÷ 131072     		x = 0.549171447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75571 ÷ 217
    75571 ÷ 131072     		y = 0.576560974121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549171447753906 × 2 - 1) × π
    0.0983428955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30895332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576560974121094 × 2 - 1) × π
    -0.153121948242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.481046787687263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30895332} λ = 0.30895332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481046787687263))-π/2
    2×atan(0.618135995872677)-π/2
    2×0.553648168577254-π/2
    1.10729633715451-1.57079632675     		φ = -0.46349999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30895332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.701721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46349999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.556593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71981 KachelY 75571 0.30895332 -0.46349999 17.701721 -26.556593
    Oben rechts KachelX + 1 71982 KachelY 75571 0.30900125 -0.46349999 17.704467 -26.556593
    Unten links KachelX 71981 KachelY + 1 75572 0.30895332 -0.46354287 17.701721 -26.559050
    Unten rechts KachelX + 1 71982 KachelY + 1 75572 0.30900125 -0.46354287 17.704467 -26.559050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46349999--0.46354287) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dl = 273.188480000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46349999--0.46354287) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dr = 273.188480000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30895332-0.30900125) × cos(-0.46349999) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894493198478394 × 6371000     		do = 273.144258908723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30895332-0.30900125) × cos(-0.46354287) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894474026798921 × 6371000     		du = 273.13840460576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46349999)-sin(-0.46354287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894493198478394-0.894474026798921)×R²
    abs(0.30900125-0.30895332)×1.91716794729624e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91716794729624e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91716794729624e-05×40589641000000     		ar = 74619.0652594072m²