Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71972 / 75553
↖ ↑ ↗
← S 26.512362°
E 17.677002°		 ← 273.25 m → S 26.512362°
E 17.679748°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
S 26.514820°
E 17.677002°		 ← 273.24 m →
74 683 m²		 S 26.514820°
E 17.679748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549106597900391 y=0.576427459716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549106597900391 × 217)
    floor (0.549106597900391 × 131072)
    floor (71972.5)     		tx = 71972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576427459716797 × 217)
    floor (0.576427459716797 × 131072)
    floor (75553.5)     		ty = 75553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71972 / 75553 ti = "17/71972/75553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71972/75553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71972 ÷ 217
    71972 ÷ 131072     		x = 0.549102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75553 ÷ 217
    75553 ÷ 131072     		y = 0.576423645019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549102783203125 × 2 - 1) × π
    0.09820556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30852189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576423645019531 × 2 - 1) × π
    -0.152847290039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.480183923494102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30852189} λ = 0.30852189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480183923494102))-π/2
    2×atan(0.618669593468042)-π/2
    2×0.55403415606153-π/2
    1.10806831212306-1.57079632675     		φ = -0.46272801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30852189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.677002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46272801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.512362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71972 KachelY 75553 0.30852189 -0.46272801 17.677002 -26.512362
    Oben rechts KachelX + 1 71973 KachelY 75553 0.30856982 -0.46272801 17.679748 -26.512362
    Unten links KachelX 71972 KachelY + 1 75554 0.30852189 -0.46277091 17.677002 -26.514820
    Unten rechts KachelX + 1 71973 KachelY + 1 75554 0.30856982 -0.46277091 17.679748 -26.514820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46272801--0.46277091) × R
    4.28999999999569e-05 × 6371000     		dl = 273.315899999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46272801--0.46277091) × R
    4.28999999999569e-05 × 6371000     		dr = 273.315899999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30852189-0.30856982) × cos(-0.46272801) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894838069925859 × 6371000     		do = 273.249569553693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30852189-0.30856982) × cos(-0.46277091) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894818918933157 × 6371000     		du = 273.243721567685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46272801)-sin(-0.46277091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894838069925859-0.894818918933157)×R²
    abs(0.30856982-0.30852189)×1.91509927026656e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91509927026656e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91509927026656e-05×40589641000000     		ar = 74682.6528647438m²