Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71971 / 95689
↖ ↑ ↗
← S 63.481184°
E 17.674255°		 ← 136.37 m → S 63.481184°
E 17.677002°		 →
↑
136.34 m
↓
↑
136.34 m
↓
S 63.482410°
E 17.674255°		 ← 136.36 m →
18 592 m²		 S 63.482410°
E 17.677002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549098968505859 y=0.730052947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549098968505859 × 217)
    floor (0.549098968505859 × 131072)
    floor (71971.5)     		tx = 71971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730052947998047 × 217)
    floor (0.730052947998047 × 131072)
    floor (95689.5)     		ty = 95689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71971 / 95689 ti = "17/71971/95689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71971/95689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71971 ÷ 217
    71971 ÷ 131072     		x = 0.549095153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95689 ÷ 217
    95689 ÷ 131072     		y = 0.730049133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549095153808594 × 2 - 1) × π
    0.0981903076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30847395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730049133300781 × 2 - 1) × π
    -0.460098266601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.44544133424355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30847395} λ = 0.30847395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44544133424355))-π/2
    2×atan(0.235642056694948)-π/2
    2×0.231420328118742-π/2
    0.462840656237483-1.57079632675     		φ = -1.10795567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30847395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.674255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10795567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.481184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71971 KachelY 95689 0.30847395 -1.10795567 17.674255 -63.481184
    Oben rechts KachelX + 1 71972 KachelY 95689 0.30852189 -1.10795567 17.677002 -63.481184
    Unten links KachelX 71971 KachelY + 1 95690 0.30847395 -1.10797707 17.674255 -63.482410
    Unten rechts KachelX + 1 71972 KachelY + 1 95690 0.30852189 -1.10797707 17.677002 -63.482410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10795567--1.10797707) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dl = 136.339400000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10795567--1.10797707) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dr = 136.339400000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30847395-0.30852189) × cos(-1.10795567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44649168997704 × 6371000     		do = 136.370054815156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30847395-0.30852189) × cos(-1.10797707) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446472541416317 × 6371000     		du = 136.364206351828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10795567)-sin(-1.10797707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44649168997704-0.446472541416317)×R²
    abs(0.30852189-0.30847395)×1.91485607227704e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91485607227704e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91485607227704e-05×40589641000000     		ar = 18592.2127643763m²