Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71971 / 75542
↖ ↑ ↗
← S 26.485324°
E 17.674255°		 ← 273.37 m → S 26.485324°
E 17.677002°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
S 26.487782°
E 17.674255°		 ← 273.37 m →
74 716 m²		 S 26.487782°
E 17.677002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549098968505859 y=0.576343536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549098968505859 × 217)
    floor (0.549098968505859 × 131072)
    floor (71971.5)     		tx = 71971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576343536376953 × 217)
    floor (0.576343536376953 × 131072)
    floor (75542.5)     		ty = 75542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71971 / 75542 ti = "17/71971/75542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71971/75542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71971 ÷ 217
    71971 ÷ 131072     		x = 0.549095153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75542 ÷ 217
    75542 ÷ 131072     		y = 0.576339721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549095153808594 × 2 - 1) × π
    0.0981903076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30847395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576339721679688 × 2 - 1) × π
    -0.152679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.479656617598282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30847395} λ = 0.30847395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479656617598282))-π/2
    2×atan(0.618995907618369)-π/2
    2×0.55427011051619-π/2
    1.10854022103238-1.57079632675     		φ = -0.46225611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30847395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.674255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46225611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.485324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71971 KachelY 75542 0.30847395 -0.46225611 17.674255 -26.485324
    Oben rechts KachelX + 1 71972 KachelY 75542 0.30852189 -0.46225611 17.677002 -26.485324
    Unten links KachelX 71971 KachelY + 1 75543 0.30847395 -0.46229901 17.674255 -26.487782
    Unten rechts KachelX + 1 71972 KachelY + 1 75543 0.30852189 -0.46229901 17.677002 -26.487782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46225611--0.46229901) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46225611--0.46229901) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30847395-0.30852189) × cos(-0.46225611) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.895048622144487 × 6371000     		do = 273.370887754598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30847395-0.30852189) × cos(-0.46229901) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89502948926928 × 6371000     		du = 273.365044082029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46225611)-sin(-0.46229901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895048622144487-0.89502948926928)×R²
    abs(0.30852189-0.30847395)×1.91328752064956e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91328752064956e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91328752064956e-05×40589641000000     		ar = 74715.8116476665m²