Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71970 / 75552
↖ ↑ ↗
← S 26.509905°
E 17.671509°		 ← 273.31 m → S 26.509905°
E 17.674255°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
S 26.512362°
E 17.671509°		 ← 273.31 m →
74 682 m²		 S 26.512362°
E 17.674255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549091339111328 y=0.576419830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549091339111328 × 217)
    floor (0.549091339111328 × 131072)
    floor (71970.5)     		tx = 71970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576419830322266 × 217)
    floor (0.576419830322266 × 131072)
    floor (75552.5)     		ty = 75552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71970 / 75552 ti = "17/71970/75552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71970/75552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71970 ÷ 217
    71970 ÷ 131072     		x = 0.549087524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75552 ÷ 217
    75552 ÷ 131072     		y = 0.576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549087524414062 × 2 - 1) × π
    0.098175048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30842601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.15283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.480135986594482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30842601} λ = 0.30842601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480135986594482))-π/2
    2×atan(0.618699251281088)-π/2
    2×0.55405560417232-π/2
    1.10811120834464-1.57079632675     		φ = -0.46268512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30842601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.671509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46268512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.509905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71970 KachelY 75552 0.30842601 -0.46268512 17.671509 -26.509905
    Oben rechts KachelX + 1 71971 KachelY 75552 0.30847395 -0.46268512 17.674255 -26.509905
    Unten links KachelX 71970 KachelY + 1 75553 0.30842601 -0.46272801 17.671509 -26.512362
    Unten rechts KachelX + 1 71971 KachelY + 1 75553 0.30847395 -0.46272801 17.674255 -26.512362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46268512--0.46272801) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46268512--0.46272801) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30842601-0.30847395) × cos(-0.46268512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894857214808168 × 6371000     		do = 273.312427027261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30842601-0.30847395) × cos(-0.46272801) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894838069925859 × 6371000     		du = 273.306579687415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46268512)-sin(-0.46272801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894857214808168-0.894838069925859)×R²
    abs(0.30847395-0.30842601)×1.9144882308586e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9144882308586e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9144882308586e-05×40589641000000     		ar = 74682.4203517016m²