Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7197 / 10617
↖ ↑ ↗
← S 46.935261°
W 21.862793°		 ← 1 668.29 m → S 46.935261°
W 21.840821°		 →
↑
1 668.06 m
↓
↑
1 668.06 m
↓
S 46.950262°
W 21.862793°		 ← 1 667.82 m →
2 782 404 m²		 S 46.950262°
W 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439300537109375 y=0.648040771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439300537109375 × 214)
    floor (0.439300537109375 × 16384)
    floor (7197.5)     		tx = 7197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648040771484375 × 214)
    floor (0.648040771484375 × 16384)
    floor (10617.5)     		ty = 10617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7197 / 10617 ti = "14/7197/10617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7197/10617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7197 ÷ 214
    7197 ÷ 16384     		x = 0.43927001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10617 ÷ 214
    10617 ÷ 16384     		y = 0.64801025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43927001953125 × 2 - 1) × π
    -0.1214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38157772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64801025390625 × 2 - 1) × π
    -0.2960205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.929975852629089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38157772} λ = -0.38157772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929975852629089))-π/2
    2×atan(0.394563237921422)-π/2
    2×0.375810744582241-π/2
    0.751621489164482-1.57079632675     		φ = -0.81917484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38157772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.862793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81917484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.935261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7197 KachelY 10617 -0.38157772 -0.81917484 -21.862793 -46.935261
    Oben rechts KachelX + 1 7198 KachelY 10617 -0.38119423 -0.81917484 -21.840821 -46.935261
    Unten links KachelX 7197 KachelY + 1 10618 -0.38157772 -0.81943666 -21.862793 -46.950262
    Unten rechts KachelX + 1 7198 KachelY + 1 10618 -0.38119423 -0.81943666 -21.840821 -46.950262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81917484--0.81943666) × R
    0.000261820000000079 × 6371000     		dl = 1668.0552200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81917484--0.81943666) × R
    0.000261820000000079 × 6371000     		dr = 1668.0552200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38157772--0.38119423) × cos(-0.81917484) × R
    0.000383489999999986 × 0.682824287253553 × 6371000     		do = 1668.28639758903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38157772--0.38119423) × cos(-0.81943666) × R
    0.000383489999999986 × 0.682632982705432 × 6371000     		du = 1667.81899948767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81917484)-sin(-0.81943666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682824287253553-0.682632982705432)×R²
    abs(-0.38119423--0.38157772)×0.000191304548120663×R²
    0.000383489999999986×0.000191304548120663×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191304548120663×40589641000000     		ar = 2782404.02692718m²