Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71967 / 75541
↖ ↑ ↗
← S 26.482866°
E 17.663269°		 ← 273.38 m → S 26.482866°
E 17.666016°		 →
↑
273.38 m
↓
↑
273.38 m
↓
S 26.485324°
E 17.663269°		 ← 273.37 m →
74 735 m²		 S 26.485324°
E 17.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549068450927734 y=0.576335906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549068450927734 × 217)
    floor (0.549068450927734 × 131072)
    floor (71967.5)     		tx = 71967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576335906982422 × 217)
    floor (0.576335906982422 × 131072)
    floor (75541.5)     		ty = 75541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71967 / 75541 ti = "17/71967/75541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71967/75541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71967 ÷ 217
    71967 ÷ 131072     		x = 0.549064636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75541 ÷ 217
    75541 ÷ 131072     		y = 0.576332092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549064636230469 × 2 - 1) × π
    0.0981292724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30828220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576332092285156 × 2 - 1) × π
    -0.152664184570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.479608680698662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30828220} λ = 0.30828220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479608680698662))-π/2
    2×atan(0.619025581074279)-π/2
    2×0.554291563673522-π/2
    1.10858312734704-1.57079632675     		φ = -0.46221320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30828220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.663269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46221320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.482866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71967 KachelY 75541 0.30828220 -0.46221320 17.663269 -26.482866
    Oben rechts KachelX + 1 71968 KachelY 75541 0.30833014 -0.46221320 17.666016 -26.482866
    Unten links KachelX 71967 KachelY + 1 75542 0.30828220 -0.46225611 17.663269 -26.485324
    Unten rechts KachelX + 1 71968 KachelY + 1 75542 0.30833014 -0.46225611 17.666016 -26.485324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46221320--0.46225611) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dl = 273.379610000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46221320--0.46225611) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dr = 273.379610000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30828220-0.30833014) × cos(-0.46221320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895067757831739 × 6371000     		do = 273.37673228572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30828220-0.30833014) × cos(-0.46225611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895048622144487 × 6371000     		du = 273.370887754281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46221320)-sin(-0.46225611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895067757831739-0.895048622144487)×R²
    abs(0.30833014-0.30828220)×1.9135687251759e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9135687251759e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9135687251759e-05×40589641000000     		ar = 74734.8255789751m²