Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71964 / 75548
↖ ↑ ↗
← S 26.500073°
E 17.655029°		 ← 273.34 m → S 26.500073°
E 17.657776°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
S 26.502531°
E 17.655029°		 ← 273.33 m →
74 706 m²		 S 26.502531°
E 17.657776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549045562744141 y=0.576389312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549045562744141 × 217)
    floor (0.549045562744141 × 131072)
    floor (71964.5)     		tx = 71964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576389312744141 × 217)
    floor (0.576389312744141 × 131072)
    floor (75548.5)     		ty = 75548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71964 / 75548 ti = "17/71964/75548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71964/75548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71964 ÷ 217
    71964 ÷ 131072     		x = 0.549041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75548 ÷ 217
    75548 ÷ 131072     		y = 0.576385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549041748046875 × 2 - 1) × π
    0.09808349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30813839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.15277099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.479944238996002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30813839} λ = 0.30813839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479944238996002))-π/2
    2×atan(0.618817896751331)-π/2
    2×0.55414140120443-π/2
    1.10828280240886-1.57079632675     		φ = -0.46251352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30813839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.655029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46251352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.500073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71964 KachelY 75548 0.30813839 -0.46251352 17.655029 -26.500073
    Oben rechts KachelX + 1 71965 KachelY 75548 0.30818633 -0.46251352 17.657776 -26.500073
    Unten links KachelX 71964 KachelY + 1 75549 0.30813839 -0.46255642 17.655029 -26.502531
    Unten rechts KachelX + 1 71965 KachelY + 1 75549 0.30818633 -0.46255642 17.657776 -26.502531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46251352--0.46255642) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46251352--0.46255642) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30813839-0.30818633) × cos(-0.46251352) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894933795723644 × 6371000     		do = 273.33581681004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30813839-0.30818633) × cos(-0.46255642) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894914652965255 × 6371000     		du = 273.329970118893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46251352)-sin(-0.46255642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894933795723644-0.894914652965255)×R²
    abs(0.30818633-0.30813839)×1.91427583894344e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91427583894344e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91427583894344e-05×40589641000000     		ar = 74706.2257883729m²