Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71961 / 75546
↖ ↑ ↗
← S 26.495157°
E 17.646790°		 ← 273.35 m → S 26.495157°
E 17.649536°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
S 26.497615°
E 17.646790°		 ← 273.34 m →
74 709 m²		 S 26.497615°
E 17.649536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549022674560547 y=0.576374053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549022674560547 × 217)
    floor (0.549022674560547 × 131072)
    floor (71961.5)     		tx = 71961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576374053955078 × 217)
    floor (0.576374053955078 × 131072)
    floor (75546.5)     		ty = 75546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71961 / 75546 ti = "17/71961/75546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71961/75546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71961 ÷ 217
    71961 ÷ 131072     		x = 0.549018859863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75546 ÷ 217
    75546 ÷ 131072     		y = 0.576370239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549018859863281 × 2 - 1) × π
    0.0980377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30799458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576370239257812 × 2 - 1) × π
    -0.152740478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.479848365196762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30799458} λ = 0.30799458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479848365196762))-π/2
    2×atan(0.618877228018242)-π/2
    2×0.554184302473441-π/2
    1.10836860494688-1.57079632675     		φ = -0.46242772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30799458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.646790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46242772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.495157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71961 KachelY 75546 0.30799458 -0.46242772 17.646790 -26.495157
    Oben rechts KachelX + 1 71962 KachelY 75546 0.30804252 -0.46242772 17.649536 -26.495157
    Unten links KachelX 71961 KachelY + 1 75547 0.30799458 -0.46247062 17.646790 -26.497615
    Unten rechts KachelX + 1 71962 KachelY + 1 75547 0.30804252 -0.46247062 17.649536 -26.497615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46242772--0.46247062) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46242772--0.46247062) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30799458-0.30804252) × cos(-0.46242772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894972076299253 × 6371000     		do = 273.347508682856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30799458-0.30804252) × cos(-0.46247062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894952936834989 × 6371000     		du = 273.34166299782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46242772)-sin(-0.46247062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894972076299253-0.894952936834989)×R²
    abs(0.30804252-0.30799458)×1.91394642640175e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91394642640175e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91394642640175e-05×40589641000000     		ar = 74709.421500594m²