Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7196 / 5270
↖ ↑ ↗
← N 76.460349°
W100.942383°		 ← 285.99 m → N 76.460349°
W100.931397°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
N 76.457776°
W100.942383°		 ← 286.05 m →
81 818 m²		 N 76.457776°
W100.931397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219619750976562 y=0.160842895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219619750976562 × 215)
    floor (0.219619750976562 × 32768)
    floor (7196.5)     		tx = 7196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160842895507812 × 215)
    floor (0.160842895507812 × 32768)
    floor (5270.5)     		ty = 5270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7196 / 5270 ti = "15/7196/5270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7196/5270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7196 ÷ 215
    7196 ÷ 32768     		x = 0.2196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5270 ÷ 215
    5270 ÷ 32768     		y = 0.16082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2196044921875 × 2 - 1) × π
    -0.560791015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76177693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16082763671875 × 2 - 1) × π
    0.6783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13108280950922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76177693} λ = -1.76177693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13108280950922))-π/2
    2×atan(8.42398344413988)-π/2
    2×1.45264057826926-π/2
    2.90528115653852-1.57079632675     		φ = 1.33448483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76177693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.942383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33448483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.460349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7196 KachelY 5270 -1.76177693 1.33448483 -100.942383 76.460349
    Oben rechts KachelX + 1 7197 KachelY 5270 -1.76158519 1.33448483 -100.931397 76.460349
    Unten links KachelX 7196 KachelY + 1 5271 -1.76177693 1.33443993 -100.942383 76.457776
    Unten rechts KachelX + 1 7197 KachelY + 1 5271 -1.76158519 1.33443993 -100.931397 76.457776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33448483-1.33443993) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dl = 286.057900000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33448483-1.33443993) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dr = 286.057900000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76177693--1.76158519) × cos(1.33448483) × R
    0.000191739999999996 × 0.234118234340717 × 6371000     		do = 285.993108538602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76177693--1.76158519) × cos(1.33443993) × R
    0.000191739999999996 × 0.234161886249846 × 6371000     		du = 286.046432643068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33448483)-sin(1.33443993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234118234340717-0.234161886249846)×R²
    abs(-1.76158519--1.76177693)×4.36519091295551e-05×R²
    0.000191739999999996×4.36519091295551e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.36519091295551e-05×40589641000000     		ar = 81818.2149482202m²