Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7196 / 3708
↖ ↑ ↗
← N 69.687618°
W 21.884766°		 ← 848.16 m → N 69.687618°
W 21.862793°		 →
↑
848.30 m
↓
↑
848.30 m
↓
N 69.679990°
W 21.884766°		 ← 848.46 m →
719 619 m²		 N 69.679990°
W 21.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439239501953125 y=0.226348876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439239501953125 × 214)
    floor (0.439239501953125 × 16384)
    floor (7196.5)     		tx = 7196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226348876953125 × 214)
    floor (0.226348876953125 × 16384)
    floor (3708.5)     		ty = 3708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7196 / 3708 ti = "14/7196/3708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7196/3708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7196 ÷ 214
    7196 ÷ 16384     		x = 0.439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3708 ÷ 214
    3708 ÷ 16384     		y = 0.226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.12158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38196122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226318359375 × 2 - 1) × π
    0.54736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71959246317065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38196122} λ = -0.38196122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71959246317065))-π/2
    2×atan(5.58225302694608)-π/2
    2×1.39353735814361-π/2
    2.78707471628721-1.57079632675     		φ = 1.21627839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38196122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.884766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21627839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.687618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7196 KachelY 3708 -0.38196122 1.21627839 -21.884766 69.687618
    Oben rechts KachelX + 1 7197 KachelY 3708 -0.38157772 1.21627839 -21.862793 69.687618
    Unten links KachelX 7196 KachelY + 1 3709 -0.38196122 1.21614524 -21.884766 69.679990
    Unten rechts KachelX + 1 7197 KachelY + 1 3709 -0.38157772 1.21614524 -21.862793 69.679990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21627839-1.21614524) × R
    0.000133150000000137 × 6371000     		dl = 848.298650000875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21627839-1.21614524) × R
    0.000133150000000137 × 6371000     		dr = 848.298650000875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38196122--0.38157772) × cos(1.21627839) × R
    0.000383499999999981 × 0.347138319994255 × 6371000     		do = 848.155593768043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38196122--0.38157772) × cos(1.21614524) × R
    0.000383499999999981 × 0.347263186842855 × 6371000     		du = 848.46067825459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21627839)-sin(1.21614524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347138319994255-0.347263186842855)×R²
    abs(-0.38157772--0.38196122)×0.000124866848600025×R²
    0.000383499999999981×0.000124866848600025×6371000²
    0.000383499999999981×0.000124866848600025×40589641000000     		ar = 719618.647626542m²