Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71958 / 95690
↖ ↑ ↗
← S 63.482410°
E 17.638550°		 ← 136.36 m → S 63.482410°
E 17.641297°		 →
↑
136.40 m
↓
↑
136.40 m
↓
S 63.483637°
E 17.638550°		 ← 136.36 m →
18 600 m²		 S 63.483637°
E 17.641297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548999786376953 y=0.730060577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548999786376953 × 217)
    floor (0.548999786376953 × 131072)
    floor (71958.5)     		tx = 71958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730060577392578 × 217)
    floor (0.730060577392578 × 131072)
    floor (95690.5)     		ty = 95690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71958 / 95690 ti = "17/71958/95690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71958/95690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71958 ÷ 217
    71958 ÷ 131072     		x = 0.548995971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95690 ÷ 217
    95690 ÷ 131072     		y = 0.730056762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548995971679688 × 2 - 1) × π
    0.097991943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30785077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730056762695312 × 2 - 1) × π
    -0.460113525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44548927114317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30785077} λ = 0.30785077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44548927114317))-π/2
    2×atan(0.235630761016072)-π/2
    2×0.231409626634605-π/2
    0.462819253269211-1.57079632675     		φ = -1.10797707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30785077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.638550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10797707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.482410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71958 KachelY 95690 0.30785077 -1.10797707 17.638550 -63.482410
    Oben rechts KachelX + 1 71959 KachelY 95690 0.30789871 -1.10797707 17.641297 -63.482410
    Unten links KachelX 71958 KachelY + 1 95691 0.30785077 -1.10799848 17.638550 -63.483637
    Unten rechts KachelX + 1 71959 KachelY + 1 95691 0.30789871 -1.10799848 17.641297 -63.483637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10797707--1.10799848) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dl = 136.403109999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10797707--1.10799848) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dr = 136.403109999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30785077-0.30789871) × cos(-1.10797707) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446472541416317 × 6371000     		do = 136.364206351828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30785077-0.30789871) × cos(-1.10799848) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446453383703059 × 6371000     		du = 136.358355093079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10797707)-sin(-1.10799848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446472541416317-0.446453383703059)×R²
    abs(0.30789871-0.30785077)×1.91577132582221e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91577132582221e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91577132582221e-05×40589641000000     		ar = 18600.1027746723m²