Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71954 / 95810
↖ ↑ ↗
← S 63.629185°
E 17.627563°		 ← 135.66 m → S 63.629185°
E 17.630310°		 →
↑
135.70 m
↓
↑
135.70 m
↓
S 63.630405°
E 17.627563°		 ← 135.66 m →
18 409 m²		 S 63.630405°
E 17.630310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548969268798828 y=0.730976104736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548969268798828 × 217)
    floor (0.548969268798828 × 131072)
    floor (71954.5)     		tx = 71954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730976104736328 × 217)
    floor (0.730976104736328 × 131072)
    floor (95810.5)     		ty = 95810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71954 / 95810 ti = "17/71954/95810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71954/95810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71954 ÷ 217
    71954 ÷ 131072     		x = 0.548965454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95810 ÷ 217
    95810 ÷ 131072     		y = 0.730972290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548965454101562 × 2 - 1) × π
    0.097930908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30765902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730972290039062 × 2 - 1) × π
    -0.461944580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45124169909758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30765902} λ = 0.30765902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45124169909758))-π/2
    2×atan(0.234279203136117)-π/2
    2×0.230128776745769-π/2
    0.460257553491537-1.57079632675     		φ = -1.11053877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30765902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.627563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11053877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.629185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71954 KachelY 95810 0.30765902 -1.11053877 17.627563 -63.629185
    Oben rechts KachelX + 1 71955 KachelY 95810 0.30770696 -1.11053877 17.630310 -63.629185
    Unten links KachelX 71954 KachelY + 1 95811 0.30765902 -1.11056007 17.627563 -63.630405
    Unten rechts KachelX + 1 71955 KachelY + 1 95811 0.30770696 -1.11056007 17.630310 -63.630405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11053877--1.11056007) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dl = 135.702300000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11053877--1.11056007) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dr = 135.702300000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30765902-0.30770696) × cos(-1.11053877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.44417887664753 × 6371000     		do = 135.663662092352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30765902-0.30770696) × cos(-1.11056007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444159793064689 × 6371000     		du = 135.65783347494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11053877)-sin(-1.11056007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44417887664753-0.444159793064689)×R²
    abs(0.30770696-0.30765902)×1.9083582841195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9083582841195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9083582841195e-05×40589641000000     		ar = 18409.4754947474m²