Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7195 / 9147
↖ ↑ ↗
← N 78.140139°
W140.476685°		 ← 125.54 m → N 78.140139°
W140.471191°		 →
↑
125.57 m
↓
↑
125.57 m
↓
N 78.139010°
W140.476685°		 ← 125.55 m →
15 765 m²		 N 78.139010°
W140.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109794616699219 y=0.139579772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109794616699219 × 216)
    floor (0.109794616699219 × 65536)
    floor (7195.5)     		tx = 7195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139579772949219 × 216)
    floor (0.139579772949219 × 65536)
    floor (9147.5)     		ty = 9147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7195 / 9147 ti = "16/7195/9147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7195/9147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7195 ÷ 216
    7195 ÷ 65536     		x = 0.109786987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9147 ÷ 216
    9147 ÷ 65536     		y = 0.139572143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109786987304688 × 2 - 1) × π
    -0.780426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45178067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139572143554688 × 2 - 1) × π
    0.720855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26463501185069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45178067} λ = -2.45178067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26463501185069))-π/2
    2×atan(9.62760999619996)-π/2
    2×1.46729951728629-π/2
    2.93459903457257-1.57079632675     		φ = 1.36380271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45178067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.476685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36380271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.140139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7195 KachelY 9147 -2.45178067 1.36380271 -140.476685 78.140139
    Oben rechts KachelX + 1 7196 KachelY 9147 -2.45168479 1.36380271 -140.471191 78.140139
    Unten links KachelX 7195 KachelY + 1 9148 -2.45178067 1.36378300 -140.476685 78.139010
    Unten rechts KachelX + 1 7196 KachelY + 1 9148 -2.45168479 1.36378300 -140.471191 78.139010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36380271-1.36378300) × R
    1.97100000001171e-05 × 6371000     		dl = 125.572410000746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36380271-1.36378300) × R
    1.97100000001171e-05 × 6371000     		dr = 125.572410000746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45178067--2.45168479) × cos(1.36380271) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.205518626494278 × 6371000     		do = 125.541357162096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45178067--2.45168479) × cos(1.36378300) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.205537915709012 × 6371000     		du = 125.553140007464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36380271)-sin(1.36378300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205518626494278-0.205537915709012)×R²
    abs(-2.45168479--2.45178067)×1.9289214734014e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.9289214734014e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.9289214734014e-05×40589641000000     		ar = 15765.2705742159m²