Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7194 / 10934
↖ ↑ ↗
← S 51.481383°
W 21.928711°		 ← 1 521.60 m → S 51.481383°
W 21.906738°		 →
↑
1 521.39 m
↓
↑
1 521.39 m
↓
S 51.495065°
W 21.928711°		 ← 1 521.14 m →
2 314 604 m²		 S 51.495065°
W 21.906738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439117431640625 y=0.667388916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439117431640625 × 214)
    floor (0.439117431640625 × 16384)
    floor (7194.5)     		tx = 7194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667388916015625 × 214)
    floor (0.667388916015625 × 16384)
    floor (10934.5)     		ty = 10934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7194 / 10934 ti = "14/7194/10934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7194/10934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7194 ÷ 214
    7194 ÷ 16384     		x = 0.4390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10934 ÷ 214
    10934 ÷ 16384     		y = 0.6673583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.334716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.05154383006555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38272821} λ = -0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05154383006555))-π/2
    2×atan(0.349397921501272)-π/2
    2×0.336138345898379-π/2
    0.672276691796758-1.57079632675     		φ = -0.89851963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89851963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.481383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7194 KachelY 10934 -0.38272821 -0.89851963 -21.928711 -51.481383
    Oben rechts KachelX + 1 7195 KachelY 10934 -0.38234471 -0.89851963 -21.906738 -51.481383
    Unten links KachelX 7194 KachelY + 1 10935 -0.38272821 -0.89875843 -21.928711 -51.495065
    Unten rechts KachelX + 1 7195 KachelY + 1 10935 -0.38234471 -0.89875843 -21.906738 -51.495065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89851963--0.89875843) × R
    0.000238799999999983 × 6371000     		dl = 1521.39479999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89851963--0.89875843) × R
    0.000238799999999983 × 6371000     		dr = 1521.39479999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38272821--0.38234471) × cos(-0.89851963) × R
    0.000383500000000037 × 0.622768900376773 × 6371000     		do = 1521.59786475936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38272821--0.38234471) × cos(-0.89875843) × R
    0.000383500000000037 × 0.622582044107387 × 6371000     		du = 1521.14132285378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89851963)-sin(-0.89875843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622768900376773-0.622582044107387)×R²
    abs(-0.38234471--0.38272821)×0.000186856269385416×R²
    0.000383500000000037×0.000186856269385416×6371000²
    0.000383500000000037×0.000186856269385416×40589641000000     		ar = 2314603.79989461m²