Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7194 / 10713
↖ ↑ ↗
← S 48.356249°
W 21.928711°		 ← 1 623.55 m → S 48.356249°
W 21.906738°		 →
↑
1 623.27 m
↓
↑
1 623.27 m
↓
S 48.370847°
W 21.928711°		 ← 1 623.09 m →
2 635 080 m²		 S 48.370847°
W 21.906738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439117431640625 y=0.653900146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439117431640625 × 214)
    floor (0.439117431640625 × 16384)
    floor (7194.5)     		tx = 7194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653900146484375 × 214)
    floor (0.653900146484375 × 16384)
    floor (10713.5)     		ty = 10713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7194 / 10713 ti = "14/7194/10713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7194/10713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7194 ÷ 214
    7194 ÷ 16384     		x = 0.4390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10713 ÷ 214
    10713 ÷ 16384     		y = 0.65386962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.3077392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.966791391537293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38272821} λ = -0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966791391537293))-π/2
    2×atan(0.380301320598086)-π/2
    2×0.36341028366673-π/2
    0.72682056733346-1.57079632675     		φ = -0.84397576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84397576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.356249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7194 KachelY 10713 -0.38272821 -0.84397576 -21.928711 -48.356249
    Oben rechts KachelX + 1 7195 KachelY 10713 -0.38234471 -0.84397576 -21.906738 -48.356249
    Unten links KachelX 7194 KachelY + 1 10714 -0.38272821 -0.84423055 -21.928711 -48.370847
    Unten rechts KachelX + 1 7195 KachelY + 1 10714 -0.38234471 -0.84423055 -21.906738 -48.370847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84397576--0.84423055) × R
    0.00025479000000006 × 6371000     		dl = 1623.26709000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84397576--0.84423055) × R
    0.00025479000000006 × 6371000     		dr = 1623.26709000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38272821--0.38234471) × cos(-0.84397576) × R
    0.000383500000000037 × 0.664497036135423 × 6371000     		do = 1623.55132170356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38272821--0.38234471) × cos(-0.84423055) × R
    0.000383500000000037 × 0.664306612320225 × 6371000     		du = 1623.08606329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84397576)-sin(-0.84423055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664497036135423-0.664306612320225)×R²
    abs(-0.38234471--0.38272821)×0.00019042381519796×R²
    0.000383500000000037×0.00019042381519796×6371000²
    0.000383500000000037×0.00019042381519796×40589641000000     		ar = 2635079.8243674m²