Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7194 / 10522
↖ ↑ ↗
← S 45.490946°
W 21.928711°		 ← 1 712.79 m → S 45.490946°
W 21.906738°		 →
↑
1 712.52 m
↓
↑
1 712.52 m
↓
S 45.506347°
W 21.928711°		 ← 1 712.32 m →
2 932 798 m²		 S 45.506347°
W 21.906738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439117431640625 y=0.642242431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439117431640625 × 214)
    floor (0.439117431640625 × 16384)
    floor (7194.5)     		tx = 7194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642242431640625 × 214)
    floor (0.642242431640625 × 16384)
    floor (10522.5)     		ty = 10522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7194 / 10522 ti = "14/7194/10522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7194/10522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7194 ÷ 214
    7194 ÷ 16384     		x = 0.4390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10522 ÷ 214
    10522 ÷ 16384     		y = 0.6422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.284423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.893543808917847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38272821} λ = -0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893543808917847))-π/2
    2×atan(0.40920304281712)-π/2
    2×0.388414772315261-π/2
    0.776829544630521-1.57079632675     		φ = -0.79396678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79396678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.490946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7194 KachelY 10522 -0.38272821 -0.79396678 -21.928711 -45.490946
    Oben rechts KachelX + 1 7195 KachelY 10522 -0.38234471 -0.79396678 -21.906738 -45.490946
    Unten links KachelX 7194 KachelY + 1 10523 -0.38272821 -0.79423558 -21.928711 -45.506347
    Unten rechts KachelX + 1 7195 KachelY + 1 10523 -0.38234471 -0.79423558 -21.906738 -45.506347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79396678--0.79423558) × R
    0.000268800000000069 × 6371000     		dl = 1712.52480000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79396678--0.79423558) × R
    0.000268800000000069 × 6371000     		dr = 1712.52480000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38272821--0.38234471) × cos(-0.79396678) × R
    0.000383500000000037 × 0.701021970271482 × 6371000     		do = 1712.79190799212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38272821--0.38234471) × cos(-0.79423558) × R
    0.000383500000000037 × 0.700830253003312 × 6371000     		du = 1712.32348931272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79396678)-sin(-0.79423558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701021970271482-0.700830253003312)×R²
    abs(-0.38234471--0.38272821)×0.000191717268170355×R²
    0.000383500000000037×0.000191717268170355×6371000²
    0.000383500000000037×0.000191717268170355×40589641000000     		ar = 2932797.54803327m²