Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7193 / 10929
↖ ↑ ↗
← S 51.412912°
W 21.950683°		 ← 1 523.84 m → S 51.412912°
W 21.928711°		 →
↑
1 523.69 m
↓
↑
1 523.69 m
↓
S 51.426615°
W 21.950683°		 ← 1 523.38 m →
2 321 512 m²		 S 51.426615°
W 21.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439056396484375 y=0.667083740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439056396484375 × 214)
    floor (0.439056396484375 × 16384)
    floor (7193.5)     		tx = 7193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667083740234375 × 214)
    floor (0.667083740234375 × 16384)
    floor (10929.5)     		ty = 10929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7193 / 10929 ti = "14/7193/10929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7193/10929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7193 ÷ 214
    7193 ÷ 16384     		x = 0.43902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10929 ÷ 214
    10929 ÷ 16384     		y = 0.66705322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38311170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66705322265625 × 2 - 1) × π
    -0.3341064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04962635408075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38311170} λ = -0.38311170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04962635408075))-π/2
    2×atan(0.350068526353772)-π/2
    2×0.336735866058914-π/2
    0.673471732117829-1.57079632675     		φ = -0.89732459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38311170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.950683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89732459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.412912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7193 KachelY 10929 -0.38311170 -0.89732459 -21.950683 -51.412912
    Oben rechts KachelX + 1 7194 KachelY 10929 -0.38272821 -0.89732459 -21.928711 -51.412912
    Unten links KachelX 7193 KachelY + 1 10930 -0.38311170 -0.89756375 -21.950683 -51.426615
    Unten rechts KachelX + 1 7194 KachelY + 1 10930 -0.38272821 -0.89756375 -21.928711 -51.426615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89732459--0.89756375) × R
    0.000239160000000016 × 6371000     		dl = 1523.6883600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89732459--0.89756375) × R
    0.000239160000000016 × 6371000     		dr = 1523.6883600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38311170--0.38272821) × cos(-0.89732459) × R
    0.000383489999999986 × 0.62370346173343 × 6371000     		do = 1523.84152228126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38311170--0.38272821) × cos(-0.89756375) × R
    0.000383489999999986 × 0.623516501842158 × 6371000     		du = 1523.38473910977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89732459)-sin(-0.89756375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62370346173343-0.623516501842158)×R²
    abs(-0.38272821--0.38311170)×0.000186959891271377×R²
    0.000383489999999986×0.000186959891271377×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186959891271377×40589641000000     		ar = 2321511.60344949m²