Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71927 / 95897
↖ ↑ ↗
← S 63.735124°
E 17.553406°		 ← 135.13 m → S 63.735124°
E 17.556152°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
S 63.736340°
E 17.553406°		 ← 135.12 m →
18 259 m²		 S 63.736340°
E 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548763275146484 y=0.731639862060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548763275146484 × 217)
    floor (0.548763275146484 × 131072)
    floor (71927.5)     		tx = 71927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731639862060547 × 217)
    floor (0.731639862060547 × 131072)
    floor (95897.5)     		ty = 95897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71927 / 95897 ti = "17/71927/95897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71927/95897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71927 ÷ 217
    71927 ÷ 131072     		x = 0.548759460449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95897 ÷ 217
    95897 ÷ 131072     		y = 0.731636047363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548759460449219 × 2 - 1) × π
    0.0975189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30636473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731636047363281 × 2 - 1) × π
    -0.463272094726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.45541220936452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30636473} λ = 0.30636473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45541220936452))-π/2
    2×atan(0.233304173912037)-π/2
    2×0.229204279274362-π/2
    0.458408558548725-1.57079632675     		φ = -1.11238777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30636473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.553406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11238777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.735124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71927 KachelY 95897 0.30636473 -1.11238777 17.553406 -63.735124
    Oben rechts KachelX + 1 71928 KachelY 95897 0.30641266 -1.11238777 17.556152 -63.735124
    Unten links KachelX 71927 KachelY + 1 95898 0.30636473 -1.11240898 17.553406 -63.736340
    Unten rechts KachelX + 1 71928 KachelY + 1 95898 0.30641266 -1.11240898 17.556152 -63.736340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11238777--1.11240898) × R
    2.12100000001048e-05 × 6371000     		dl = 135.128910000667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11238777--1.11240898) × R
    2.12100000001048e-05 × 6371000     		dr = 135.128910000667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30636473-0.30641266) × cos(-1.11238777) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.442521528717186 × 6371000     		do = 135.129272327866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30636473-0.30641266) × cos(-1.11240898) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.442502508383 × 6371000     		du = 135.123464240008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11238777)-sin(-1.11240898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442521528717186-0.442502508383)×R²
    abs(0.30641266-0.30636473)×1.90203341858819e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90203341858819e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90203341858819e-05×40589641000000     		ar = 18259.4788591923m²