Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71926 / 95898
↖ ↑ ↗
← S 63.736340°
E 17.550659°		 ← 135.15 m → S 63.736340°
E 17.553406°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
S 63.737555°
E 17.550659°		 ← 135.15 m →
18 263 m²		 S 63.737555°
E 17.553406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548755645751953 y=0.731647491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548755645751953 × 217)
    floor (0.548755645751953 × 131072)
    floor (71926.5)     		tx = 71926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731647491455078 × 217)
    floor (0.731647491455078 × 131072)
    floor (95898.5)     		ty = 95898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71926 / 95898 ti = "17/71926/95898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71926/95898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71926 ÷ 217
    71926 ÷ 131072     		x = 0.548751831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95898 ÷ 217
    95898 ÷ 131072     		y = 0.731643676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548751831054688 × 2 - 1) × π
    0.097503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30631679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731643676757812 × 2 - 1) × π
    -0.463287353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45546014626414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30631679} λ = 0.30631679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45546014626414))-π/2
    2×atan(0.233292990301327)-π/2
    2×0.229193672947247-π/2
    0.458387345894495-1.57079632675     		φ = -1.11240898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30631679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.550659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11240898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.736340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71926 KachelY 95898 0.30631679 -1.11240898 17.550659 -63.736340
    Oben rechts KachelX + 1 71927 KachelY 95898 0.30636473 -1.11240898 17.553406 -63.736340
    Unten links KachelX 71926 KachelY + 1 95899 0.30631679 -1.11243019 17.550659 -63.737555
    Unten rechts KachelX + 1 71927 KachelY + 1 95899 0.30636473 -1.11243019 17.553406 -63.737555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11240898--1.11243019) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dl = 135.128909999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11240898--1.11243019) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dr = 135.128909999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30631679-0.30636473) × cos(-1.11240898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442502508383 × 6371000     		do = 135.151656074645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30631679-0.30636473) × cos(-1.11243019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442483487849748 × 6371000     		du = 135.145846714202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11240898)-sin(-1.11243019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442502508383-0.442483487849748)×R²
    abs(0.30636473-0.30631679)×1.90205332516458e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90205332516458e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90205332516458e-05×40589641000000     		ar = 18262.5034645021m²