Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71926 / 73554
↖ ↑ ↗
← S 21.499075°
E 17.550659°		 ← 284.18 m → S 21.499075°
E 17.553406°		 →
↑
284.15 m
↓
↑
284.15 m
↓
S 21.501630°
E 17.550659°		 ← 284.17 m →
80 747 m²		 S 21.501630°
E 17.553406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548755645751953 y=0.561176300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548755645751953 × 217)
    floor (0.548755645751953 × 131072)
    floor (71926.5)     		tx = 71926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561176300048828 × 217)
    floor (0.561176300048828 × 131072)
    floor (73554.5)     		ty = 73554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71926 / 73554 ti = "17/71926/73554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71926/73554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71926 ÷ 217
    71926 ÷ 131072     		x = 0.548751831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73554 ÷ 217
    73554 ÷ 131072     		y = 0.561172485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548751831054688 × 2 - 1) × π
    0.097503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30631679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561172485351562 × 2 - 1) × π
    -0.122344970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.38435806115361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30631679} λ = 0.30631679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.38435806115361))-π/2
    2×atan(0.680887584132938)-π/2
    2×0.597783344262145-π/2
    1.19556668852429-1.57079632675     		φ = -0.37522964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30631679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.550659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37522964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.499075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71926 KachelY 73554 0.30631679 -0.37522964 17.550659 -21.499075
    Oben rechts KachelX + 1 71927 KachelY 73554 0.30636473 -0.37522964 17.553406 -21.499075
    Unten links KachelX 71926 KachelY + 1 73555 0.30631679 -0.37527424 17.550659 -21.501630
    Unten rechts KachelX + 1 71927 KachelY + 1 73555 0.30636473 -0.37527424 17.553406 -21.501630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37522964--0.37527424) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dl = 284.146600000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37522964--0.37527424) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dr = 284.146600000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30631679-0.30636473) × cos(-0.37522964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930423486554533 × 6371000     		do = 284.175281894112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30631679-0.30636473) × cos(-0.37527424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930407140344585 × 6371000     		du = 284.170289340842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37522964)-sin(-0.37527424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930423486554533-0.930407140344585)×R²
    abs(0.30636473-0.30631679)×1.63462099485034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63462099485034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63462099485034e-05×40589641000000     		ar = 80746.7308591399m²