Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71920 / 73490
↖ ↑ ↗
← S 21.335432°
E 17.534180°		 ← 284.43 m → S 21.335432°
E 17.536926°		 →
↑
284.47 m
↓
↑
284.47 m
↓
S 21.337990°
E 17.534180°		 ← 284.43 m →
80 911 m²		 S 21.337990°
E 17.536926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548709869384766 y=0.560688018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548709869384766 × 217)
    floor (0.548709869384766 × 131072)
    floor (71920.5)     		tx = 71920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.560688018798828 × 217)
    floor (0.560688018798828 × 131072)
    floor (73490.5)     		ty = 73490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71920 / 73490 ti = "17/71920/73490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71920/73490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71920 ÷ 217
    71920 ÷ 131072     		x = 0.5487060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73490 ÷ 217
    73490 ÷ 131072     		y = 0.560684204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5487060546875 × 2 - 1) × π
    0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.560684204101562 × 2 - 1) × π
    -0.121368408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.381290099577927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30602917} λ = 0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.381290099577927))-π/2
    2×atan(0.682979728747055)-π/2
    2×0.59921139675225-π/2
    1.1984227935045-1.57079632675     		φ = -0.37237353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37237353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.335432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71920 KachelY 73490 0.30602917 -0.37237353 17.534180 -21.335432
    Oben rechts KachelX + 1 71921 KachelY 73490 0.30607710 -0.37237353 17.536926 -21.335432
    Unten links KachelX 71920 KachelY + 1 73491 0.30602917 -0.37241818 17.534180 -21.337990
    Unten rechts KachelX + 1 71921 KachelY + 1 73491 0.30607710 -0.37241818 17.536926 -21.337990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37237353--0.37241818) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dl = 284.465149999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37237353--0.37241818) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dr = 284.465149999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30602917-0.30607710) × cos(-0.37237353) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.931466415136447 × 6371000     		do = 284.434475402733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30602917-0.30607710) × cos(-0.37241818) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.931450169318198 × 6371000     		du = 284.429514546693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37237353)-sin(-0.37241818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931466415136447-0.931450169318198)×R²
    abs(0.30607710-0.30602917)×1.62458182486613e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.62458182486613e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.62458182486613e-05×40589641000000     		ar = 80910.9901286073m²