Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71920 / 73489
↖ ↑ ↗
← S 21.332873°
E 17.534180°		 ← 284.44 m → S 21.332873°
E 17.536926°		 →
↑
284.47 m
↓
↑
284.47 m
↓
S 21.335432°
E 17.534180°		 ← 284.43 m →
80 912 m²		 S 21.335432°
E 17.536926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548709869384766 y=0.560680389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548709869384766 × 217)
    floor (0.548709869384766 × 131072)
    floor (71920.5)     		tx = 71920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.560680389404297 × 217)
    floor (0.560680389404297 × 131072)
    floor (73489.5)     		ty = 73489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71920 / 73489 ti = "17/71920/73489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71920/73489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71920 ÷ 217
    71920 ÷ 131072     		x = 0.5487060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73489 ÷ 217
    73489 ÷ 131072     		y = 0.560676574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5487060546875 × 2 - 1) × π
    0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.560676574707031 × 2 - 1) × π
    -0.121353149414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.381242162678307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30602917} λ = 0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.381242162678307))-π/2
    2×atan(0.683012469462492)-π/2
    2×0.599233722752926-π/2
    1.19846744550585-1.57079632675     		φ = -0.37232888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37232888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.332873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71920 KachelY 73489 0.30602917 -0.37232888 17.534180 -21.332873
    Oben rechts KachelX + 1 71921 KachelY 73489 0.30607710 -0.37232888 17.536926 -21.332873
    Unten links KachelX 71920 KachelY + 1 73490 0.30602917 -0.37237353 17.534180 -21.335432
    Unten rechts KachelX + 1 71921 KachelY + 1 73490 0.30607710 -0.37237353 17.536926 -21.335432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37232888--0.37237353) × R
    4.46500000000349e-05 × 6371000     		dl = 284.465150000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37232888--0.37237353) × R
    4.46500000000349e-05 × 6371000     		dr = 284.465150000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30602917-0.30607710) × cos(-0.37232888) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.931482659097703 × 6371000     		do = 284.439435691717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30602917-0.30607710) × cos(-0.37237353) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.931466415136447 × 6371000     		du = 284.434475402733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37232888)-sin(-0.37237353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931482659097703-0.931466415136447)×R²
    abs(0.30607710-0.30602917)×1.62439612563237e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.62439612563237e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.62439612563237e-05×40589641000000     		ar = 80912.4012388672m²