Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7192 / 5654
↖ ↑ ↗
← N 48.603857°
W 21.972656°		 ← 1 615.65 m → N 48.603857°
W 21.950683°		 →
↑
1 615.81 m
↓
↑
1 615.81 m
↓
N 48.589326°
W 21.972656°		 ← 1 616.11 m →
2 610 957 m²		 N 48.589326°
W 21.950683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438995361328125 y=0.345123291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438995361328125 × 214)
    floor (0.438995361328125 × 16384)
    floor (7192.5)     		tx = 7192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345123291015625 × 214)
    floor (0.345123291015625 × 16384)
    floor (5654.5)     		ty = 5654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7192 / 5654 ti = "14/7192/5654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7192/5654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7192 ÷ 214
    7192 ÷ 16384     		x = 0.43896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5654 ÷ 214
    5654 ÷ 16384     		y = 0.3450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38349520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3450927734375 × 2 - 1) × π
    0.309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.97331080988562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38349520} λ = -0.38349520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97331080988562))-π/2
    2×atan(2.64669266578097)-π/2
    2×1.20954683560533-π/2
    2.41909367121065-1.57079632675     		φ = 0.84829734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38349520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84829734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.603857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7192 KachelY 5654 -0.38349520 0.84829734 -21.972656 48.603857
    Oben rechts KachelX + 1 7193 KachelY 5654 -0.38311170 0.84829734 -21.950683 48.603857
    Unten links KachelX 7192 KachelY + 1 5655 -0.38349520 0.84804372 -21.972656 48.589326
    Unten rechts KachelX + 1 7193 KachelY + 1 5655 -0.38311170 0.84804372 -21.950683 48.589326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84829734-0.84804372) × R
    0.000253620000000065 × 6371000     		dl = 1615.81302000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84829734-0.84804372) × R
    0.000253620000000065 × 6371000     		dr = 1615.81302000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38349520--0.38311170) × cos(0.84829734) × R
    0.000383499999999981 × 0.661261363699339 × 6371000     		do = 1615.6456728072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38349520--0.38311170) × cos(0.84804372) × R
    0.000383499999999981 × 0.661451596890788 × 6371000     		du = 1616.11046547385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84829734)-sin(0.84804372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661261363699339-0.661451596890788)×R²
    abs(-0.38311170--0.38349520)×0.00019023319144873×R²
    0.000383499999999981×0.00019023319144873×6371000²
    0.000383499999999981×0.00019023319144873×40589641000000     		ar = 2610956.83684451m²