Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7192 / 5113
↖ ↑ ↗
← N 76.858313°
W100.986328°		 ← 277.75 m → N 76.858313°
W100.975342°		 →
↑
277.78 m
↓
↑
277.78 m
↓
N 76.855815°
W100.986328°		 ← 277.80 m →
77 160 m²		 N 76.855815°
W100.975342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219497680664062 y=0.156051635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219497680664062 × 215)
    floor (0.219497680664062 × 32768)
    floor (7192.5)     		tx = 7192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156051635742188 × 215)
    floor (0.156051635742188 × 32768)
    floor (5113.5)     		ty = 5113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7192 / 5113 ti = "15/7192/5113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7192/5113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7192 ÷ 215
    7192 ÷ 32768     		x = 0.219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5113 ÷ 215
    5113 ÷ 32768     		y = 0.156036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.56103515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76254393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156036376953125 × 2 - 1) × π
    0.68792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16118718247061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76254393} λ = -1.76254393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16118718247061))-π/2
    2×atan(8.681437994071)-π/2
    2×1.4561134713245-π/2
    2.91222694264899-1.57079632675     		φ = 1.34143062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76254393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34143062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.858313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7192 KachelY 5113 -1.76254393 1.34143062 -100.986328 76.858313
    Oben rechts KachelX + 1 7193 KachelY 5113 -1.76235218 1.34143062 -100.975342 76.858313
    Unten links KachelX 7192 KachelY + 1 5114 -1.76254393 1.34138702 -100.986328 76.855815
    Unten rechts KachelX + 1 7193 KachelY + 1 5114 -1.76235218 1.34138702 -100.975342 76.855815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34143062-1.34138702) × R
    4.35999999999215e-05 × 6371000     		dl = 277.7755999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34143062-1.34138702) × R
    4.35999999999215e-05 × 6371000     		dr = 277.7755999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76254393--1.76235218) × cos(1.34143062) × R
    0.000191750000000157 × 0.227359887737357 × 6371000     		do = 277.751762735777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76254393--1.76235218) × cos(1.34138702) × R
    0.000191750000000157 × 0.227402345672285 × 6371000     		du = 277.803631015558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34143062)-sin(1.34138702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227359887737357-0.227402345672285)×R²
    abs(-1.76235218--1.76254393)×4.24579349277698e-05×R²
    0.000191750000000157×4.24579349277698e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.24579349277698e-05×40589641000000     		ar = 77159.8664285557m²