Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7192 / 10904
↖ ↑ ↗
← S 51.069017°
W 21.972656°		 ← 1 535.32 m → S 51.069017°
W 21.950683°		 →
↑
1 535.03 m
↓
↑
1 535.03 m
↓
S 51.082822°
W 21.972656°		 ← 1 534.86 m →
2 356 404 m²		 S 51.082822°
W 21.950683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438995361328125 y=0.665557861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438995361328125 × 214)
    floor (0.438995361328125 × 16384)
    floor (7192.5)     		tx = 7192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665557861328125 × 214)
    floor (0.665557861328125 × 16384)
    floor (10904.5)     		ty = 10904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7192 / 10904 ti = "14/7192/10904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7192/10904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7192 ÷ 214
    7192 ÷ 16384     		x = 0.43896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10904 ÷ 214
    10904 ÷ 16384     		y = 0.66552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38349520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66552734375 × 2 - 1) × π
    -0.3310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04003897415674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38349520} λ = -0.38349520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04003897415674))-π/2
    2×atan(0.353440906629048)-π/2
    2×0.339736920173826-π/2
    0.679473840347652-1.57079632675     		φ = -0.89132249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38349520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89132249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.069017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7192 KachelY 10904 -0.38349520 -0.89132249 -21.972656 -51.069017
    Oben rechts KachelX + 1 7193 KachelY 10904 -0.38311170 -0.89132249 -21.950683 -51.069017
    Unten links KachelX 7192 KachelY + 1 10905 -0.38349520 -0.89156343 -21.972656 -51.082822
    Unten rechts KachelX + 1 7193 KachelY + 1 10905 -0.38311170 -0.89156343 -21.950683 -51.082822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89132249--0.89156343) × R
    0.000240940000000078 × 6371000     		dl = 1535.0287400005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89132249--0.89156343) × R
    0.000240940000000078 × 6371000     		dr = 1535.0287400005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38349520--0.38311170) × cos(-0.89132249) × R
    0.000383499999999981 × 0.628383806843492 × 6371000     		do = 1535.31664500878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38349520--0.38311170) × cos(-0.89156343) × R
    0.000383499999999981 × 0.628196360546435 × 6371000     		du = 1534.85866150128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89132249)-sin(-0.89156343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628383806843492-0.628196360546435)×R²
    abs(-0.38311170--0.38349520)×0.00018744629705747×R²
    0.000383499999999981×0.00018744629705747×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018744629705747×40589641000000     		ar = 2356403.6775654m²