Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7192 / 10725
↖ ↑ ↗
← S 48.531157°
W 21.972656°		 ← 1 617.97 m → S 48.531157°
W 21.950683°		 →
↑
1 617.72 m
↓
↑
1 617.72 m
↓
S 48.545706°
W 21.972656°		 ← 1 617.51 m →
2 617 053 m²		 S 48.545706°
W 21.950683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438995361328125 y=0.654632568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438995361328125 × 214)
    floor (0.438995361328125 × 16384)
    floor (7192.5)     		tx = 7192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654632568359375 × 214)
    floor (0.654632568359375 × 16384)
    floor (10725.5)     		ty = 10725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7192 / 10725 ti = "14/7192/10725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7192/10725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7192 ÷ 214
    7192 ÷ 16384     		x = 0.43896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10725 ÷ 214
    10725 ÷ 16384     		y = 0.65460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38349520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.3092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.971393333900818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38349520} λ = -0.38349520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971393333900818))-π/2
    2×atan(0.378555216656334)-π/2
    2×0.361883923584705-π/2
    0.723767847169409-1.57079632675     		φ = -0.84702848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38349520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84702848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.531157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7192 KachelY 10725 -0.38349520 -0.84702848 -21.972656 -48.531157
    Oben rechts KachelX + 1 7193 KachelY 10725 -0.38311170 -0.84702848 -21.950683 -48.531157
    Unten links KachelX 7192 KachelY + 1 10726 -0.38349520 -0.84728240 -21.972656 -48.545706
    Unten rechts KachelX + 1 7193 KachelY + 1 10726 -0.38311170 -0.84728240 -21.950683 -48.545706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84702848--0.84728240) × R
    0.000253920000000019 × 6371000     		dl = 1617.72432000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84702848--0.84728240) × R
    0.000253920000000019 × 6371000     		dr = 1617.72432000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38349520--0.38311170) × cos(-0.84702848) × R
    0.000383499999999981 × 0.662212673548365 × 6371000     		do = 1617.96998770816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38349520--0.38311170) × cos(-0.84728240) × R
    0.000383499999999981 × 0.662022385899222 × 6371000     		du = 1617.50506198619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84702848)-sin(-0.84728240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662212673548365-0.662022385899222)×R²
    abs(-0.38311170--0.38349520)×0.000190287649143306×R²
    0.000383499999999981×0.000190287649143306×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190287649143306×40589641000000     		ar = 2617053.35138195m²