Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7191 / 5527
↖ ↑ ↗
← N 50.415519°
W 21.994629°		 ← 1 556.85 m → N 50.415519°
W 21.972656°		 →
↑
1 557.14 m
↓
↑
1 557.14 m
↓
N 50.401515°
W 21.994629°		 ← 1 557.31 m →
2 424 591 m²		 N 50.401515°
W 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438934326171875 y=0.337371826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438934326171875 × 214)
    floor (0.438934326171875 × 16384)
    floor (7191.5)     		tx = 7191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337371826171875 × 214)
    floor (0.337371826171875 × 16384)
    floor (5527.5)     		ty = 5527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7191 / 5527 ti = "14/7191/5527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7191/5527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7191 ÷ 214
    7191 ÷ 16384     		x = 0.43890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5527 ÷ 214
    5527 ÷ 16384     		y = 0.33734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1221923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38387869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33734130859375 × 2 - 1) × π
    0.3253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0220146998996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38387869} λ = -0.38387869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0220146998996))-π/2
    2×atan(2.77878755117897)-π/2
    2×1.22535656113117-π/2
    2.45071312226233-1.57079632675     		φ = 0.87991680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38387869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.994629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87991680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.415519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7191 KachelY 5527 -0.38387869 0.87991680 -21.994629 50.415519
    Oben rechts KachelX + 1 7192 KachelY 5527 -0.38349520 0.87991680 -21.972656 50.415519
    Unten links KachelX 7191 KachelY + 1 5528 -0.38387869 0.87967239 -21.994629 50.401515
    Unten rechts KachelX + 1 7192 KachelY + 1 5528 -0.38349520 0.87967239 -21.972656 50.401515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87991680-0.87967239) × R
    0.000244410000000084 × 6371000     		dl = 1557.13611000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87991680-0.87967239) × R
    0.000244410000000084 × 6371000     		dr = 1557.13611000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38387869--0.38349520) × cos(0.87991680) × R
    0.000383490000000042 × 0.637215267467974 × 6371000     		do = 1556.85376589173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38387869--0.38349520) × cos(0.87967239) × R
    0.000383490000000042 × 0.637403611766001 × 6371000     		du = 1557.31393146628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87991680)-sin(0.87967239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637215267467974-0.637403611766001)×R²
    abs(-0.38349520--0.38387869)×0.000188344298027499×R²
    0.000383490000000042×0.000188344298027499×6371000²
    0.000383490000000042×0.000188344298027499×40589641000000     		ar = 2424591.49914701m²