Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7191 / 10719
↖ ↑ ↗
← S 48.443778°
W 21.994629°		 ← 1 620.72 m → S 48.443778°
W 21.972656°		 →
↑
1 620.53 m
↓
↑
1 620.53 m
↓
S 48.458352°
W 21.994629°		 ← 1 620.25 m →
2 626 041 m²		 S 48.458352°
W 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438934326171875 y=0.654266357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438934326171875 × 214)
    floor (0.438934326171875 × 16384)
    floor (7191.5)     		tx = 7191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654266357421875 × 214)
    floor (0.654266357421875 × 16384)
    floor (10719.5)     		ty = 10719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7191 / 10719 ti = "14/7191/10719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7191/10719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7191 ÷ 214
    7191 ÷ 16384     		x = 0.43890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10719 ÷ 214
    10719 ÷ 16384     		y = 0.65423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1221923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38387869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.3084716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.969092362719055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38387869} λ = -0.38387869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969092362719055))-π/2
    2×atan(0.37942726419394)-π/2
    2×0.362646446593647-π/2
    0.725292893187293-1.57079632675     		φ = -0.84550343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38387869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.994629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84550343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.443778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7191 KachelY 10719 -0.38387869 -0.84550343 -21.994629 -48.443778
    Oben rechts KachelX + 1 7192 KachelY 10719 -0.38349520 -0.84550343 -21.972656 -48.443778
    Unten links KachelX 7191 KachelY + 1 10720 -0.38387869 -0.84575779 -21.994629 -48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 7192 KachelY + 1 10720 -0.38349520 -0.84575779 -21.972656 -48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84550343--0.84575779) × R
    0.000254360000000009 × 6371000     		dl = 1620.52756000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84550343--0.84575779) × R
    0.000254360000000009 × 6371000     		dr = 1620.52756000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38387869--0.38349520) × cos(-0.84550343) × R
    0.000383490000000042 × 0.663354647297183 × 6371000     		do = 1620.71788529189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38387869--0.38349520) × cos(-0.84575779) × R
    0.000383490000000042 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 1620.25279405091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84550343)-sin(-0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663354647297183-0.663164286939641)×R²
    abs(-0.38349520--0.38387869)×0.000190360357541941×R²
    0.000383490000000042×0.000190360357541941×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190360357541941×40589641000000     		ar = 2626041.16767216m²