Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7191 / 10604
↖ ↑ ↗
← S 46.739861°
W 21.994629°		 ← 1 674.36 m → S 46.739861°
W 21.972656°		 →
↑
1 674.17 m
↓
↑
1 674.17 m
↓
S 46.754917°
W 21.994629°		 ← 1 673.90 m →
2 802 781 m²		 S 46.754917°
W 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438934326171875 y=0.647247314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438934326171875 × 214)
    floor (0.438934326171875 × 16384)
    floor (7191.5)     		tx = 7191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647247314453125 × 214)
    floor (0.647247314453125 × 16384)
    floor (10604.5)     		ty = 10604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7191 / 10604 ti = "14/7191/10604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7191/10604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7191 ÷ 214
    7191 ÷ 16384     		x = 0.43890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10604 ÷ 214
    10604 ÷ 16384     		y = 0.647216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1221923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38387869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.29443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.924990415068604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38387869} λ = -0.38387869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924990415068604))-π/2
    2×atan(0.396535219819656)-π/2
    2×0.377515933712603-π/2
    0.755031867425206-1.57079632675     		φ = -0.81576446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38387869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.994629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81576446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.739861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7191 KachelY 10604 -0.38387869 -0.81576446 -21.994629 -46.739861
    Oben rechts KachelX + 1 7192 KachelY 10604 -0.38349520 -0.81576446 -21.972656 -46.739861
    Unten links KachelX 7191 KachelY + 1 10605 -0.38387869 -0.81602724 -21.994629 -46.754917
    Unten rechts KachelX + 1 7192 KachelY + 1 10605 -0.38349520 -0.81602724 -21.972656 -46.754917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81576446--0.81602724) × R
    0.000262780000000018 × 6371000     		dl = 1674.17138000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81576446--0.81602724) × R
    0.000262780000000018 × 6371000     		dr = 1674.17138000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38387869--0.38349520) × cos(-0.81576446) × R
    0.000383490000000042 × 0.685311875989394 × 6371000     		do = 1674.36411118012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38387869--0.38349520) × cos(-0.81602724) × R
    0.000383490000000042 × 0.68512048287262 × 6371000     		du = 1673.89649668651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81576446)-sin(-0.81602724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685311875989394-0.68512048287262)×R²
    abs(-0.38349520--0.38387869)×0.000191393116773408×R²
    0.000383490000000042×0.000191393116773408×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191393116773408×40589641000000     		ar = 2802781.05736512m²