Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71903 / 95712
↖ ↑ ↗
← S 63.509376°
E 17.487488°		 ← 136.24 m → S 63.509376°
E 17.490235°		 →
↑
136.21 m
↓
↑
136.21 m
↓
S 63.510601°
E 17.487488°		 ← 136.23 m →
18 557 m²		 S 63.510601°
E 17.490235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548580169677734 y=0.730228424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548580169677734 × 217)
    floor (0.548580169677734 × 131072)
    floor (71903.5)     		tx = 71903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730228424072266 × 217)
    floor (0.730228424072266 × 131072)
    floor (95712.5)     		ty = 95712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71903 / 95712 ti = "17/71903/95712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71903/95712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71903 ÷ 217
    71903 ÷ 131072     		x = 0.548576354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95712 ÷ 217
    95712 ÷ 131072     		y = 0.730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548576354980469 × 2 - 1) × π
    0.0971527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30521424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.46044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44654388293481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30521424} λ = 0.30521424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44654388293481))-π/2
    2×atan(0.235382393025956)-π/2
    2×0.231174310088869-π/2
    0.462348620177738-1.57079632675     		φ = -1.10844771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30521424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.487488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10844771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.509376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71903 KachelY 95712 0.30521424 -1.10844771 17.487488 -63.509376
    Oben rechts KachelX + 1 71904 KachelY 95712 0.30526218 -1.10844771 17.490235 -63.509376
    Unten links KachelX 71903 KachelY + 1 95713 0.30521424 -1.10846909 17.487488 -63.510601
    Unten rechts KachelX + 1 71904 KachelY + 1 95713 0.30526218 -1.10846909 17.490235 -63.510601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10844771--1.10846909) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dl = 136.211979999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10844771--1.10846909) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dr = 136.211979999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30521424-0.30526218) × cos(-1.10844771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.44605136456709 × 6371000     		do = 136.235568100824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30521424-0.30526218) × cos(-1.10846909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446032229207721 × 6371000     		du = 136.229723669528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10844771)-sin(-1.10846909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44605136456709-0.446032229207721)×R²
    abs(0.30526218-0.30521424)×1.91353593695931e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91353593695931e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91353593695931e-05×40589641000000     		ar = 18556.5184372956m²