Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71903 / 95711
↖ ↑ ↗
← S 63.508150°
E 17.487488°		 ← 136.24 m → S 63.508150°
E 17.490235°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
S 63.509376°
E 17.487488°		 ← 136.24 m →
18 566 m²		 S 63.509376°
E 17.490235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548580169677734 y=0.730220794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548580169677734 × 217)
    floor (0.548580169677734 × 131072)
    floor (71903.5)     		tx = 71903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730220794677734 × 217)
    floor (0.730220794677734 × 131072)
    floor (95711.5)     		ty = 95711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71903 / 95711 ti = "17/71903/95711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71903/95711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71903 ÷ 217
    71903 ÷ 131072     		x = 0.548576354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95711 ÷ 217
    95711 ÷ 131072     		y = 0.730216979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548576354980469 × 2 - 1) × π
    0.0971527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30521424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730216979980469 × 2 - 1) × π
    -0.460433959960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.44649594603519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30521424} λ = 0.30521424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44649594603519))-π/2
    2×atan(0.235393676798555)-π/2
    2×0.231185001478035-π/2
    0.462370002956069-1.57079632675     		φ = -1.10842632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30521424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.487488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10842632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.508150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71903 KachelY 95711 0.30521424 -1.10842632 17.487488 -63.508150
    Oben rechts KachelX + 1 71904 KachelY 95711 0.30526218 -1.10842632 17.490235 -63.508150
    Unten links KachelX 71903 KachelY + 1 95712 0.30521424 -1.10844771 17.487488 -63.509376
    Unten rechts KachelX + 1 71904 KachelY + 1 95712 0.30526218 -1.10844771 17.490235 -63.509376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10842632--1.10844771) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dl = 136.275690000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10842632--1.10844771) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dr = 136.275690000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30521424-0.30526218) × cos(-1.10842632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446070508672546 × 6371000     		do = 136.2414152034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30521424-0.30526218) × cos(-1.10844771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.44605136456709 × 6371000     		du = 136.235568100824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10842632)-sin(-1.10844771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446070508672546-0.44605136456709)×R²
    abs(0.30526218-0.30521424)×1.91441054558927e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91441054558927e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91441054558927e-05×40589641000000     		ar = 18565.9944553774m²