Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7190 / 5649
↖ ↑ ↗
← N 48.676454°
W 22.016602°		 ← 1 613.32 m → N 48.676454°
W 21.994629°		 →
↑
1 613.58 m
↓
↑
1 613.58 m
↓
N 48.661943°
W 22.016602°		 ← 1 613.79 m →
2 603 604 m²		 N 48.661943°
W 21.994629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438873291015625 y=0.344818115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438873291015625 × 214)
    floor (0.438873291015625 × 16384)
    floor (7190.5)     		tx = 7190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344818115234375 × 214)
    floor (0.344818115234375 × 16384)
    floor (5649.5)     		ty = 5649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7190 / 5649 ti = "14/7190/5649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7190/5649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7190 ÷ 214
    7190 ÷ 16384     		x = 0.4388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5649 ÷ 214
    5649 ÷ 16384     		y = 0.34478759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38426219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34478759765625 × 2 - 1) × π
    0.3104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.975228285870422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38426219} λ = -0.38426219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975228285870422))-π/2
    2×atan(2.6517725040843)-π/2
    2×1.2101803560859-π/2
    2.42036071217179-1.57079632675     		φ = 0.84956439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38426219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84956439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.676454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7190 KachelY 5649 -0.38426219 0.84956439 -22.016602 48.676454
    Oben rechts KachelX + 1 7191 KachelY 5649 -0.38387869 0.84956439 -21.994629 48.676454
    Unten links KachelX 7190 KachelY + 1 5650 -0.38426219 0.84931112 -22.016602 48.661943
    Unten rechts KachelX + 1 7191 KachelY + 1 5650 -0.38387869 0.84931112 -21.994629 48.661943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84956439-0.84931112) × R
    0.000253269999999972 × 6371000     		dl = 1613.58316999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84956439-0.84931112) × R
    0.000253269999999972 × 6371000     		dr = 1613.58316999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38426219--0.38387869) × cos(0.84956439) × R
    0.000383499999999981 × 0.660310348514012 × 6371000     		do = 1613.32207785171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38426219--0.38387869) × cos(0.84931112) × R
    0.000383499999999981 × 0.660500531290181 × 6371000     		du = 1613.7867473398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84956439)-sin(0.84931112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660310348514012-0.660500531290181)×R²
    abs(-0.38387869--0.38426219)×0.000190182776169223×R²
    0.000383499999999981×0.000190182776169223×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190182776169223×40589641000000     		ar = 2603604.25796109m²