Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7190 / 10722
↖ ↑ ↗
← S 48.487487°
W 22.016602°		 ← 1 619.36 m → S 48.487487°
W 21.994629°		 →
↑
1 619.06 m
↓
↑
1 619.06 m
↓
S 48.502047°
W 22.016602°		 ← 1 618.90 m →
2 621 476 m²		 S 48.502047°
W 21.994629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438873291015625 y=0.654449462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438873291015625 × 214)
    floor (0.438873291015625 × 16384)
    floor (7190.5)     		tx = 7190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654449462890625 × 214)
    floor (0.654449462890625 × 16384)
    floor (10722.5)     		ty = 10722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7190 / 10722 ti = "14/7190/10722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7190/10722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7190 ÷ 214
    7190 ÷ 16384     		x = 0.4388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10722 ÷ 214
    10722 ÷ 16384     		y = 0.6544189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38426219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6544189453125 × 2 - 1) × π
    -0.308837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.970242848309937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38426219} λ = -0.38426219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970242848309937))-π/2
    2×atan(0.378990989605633)-π/2
    2×0.362265020861532-π/2
    0.724530041723063-1.57079632675     		φ = -0.84626629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38426219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84626629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.487487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7190 KachelY 10722 -0.38426219 -0.84626629 -22.016602 -48.487487
    Oben rechts KachelX + 1 7191 KachelY 10722 -0.38387869 -0.84626629 -21.994629 -48.487487
    Unten links KachelX 7190 KachelY + 1 10723 -0.38426219 -0.84652042 -22.016602 -48.502047
    Unten rechts KachelX + 1 7191 KachelY + 1 10723 -0.38387869 -0.84652042 -21.994629 -48.502047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84626629--0.84652042) × R
    0.000254130000000075 × 6371000     		dl = 1619.06223000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84626629--0.84652042) × R
    0.000254130000000075 × 6371000     		dr = 1619.06223000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38426219--0.38387869) × cos(-0.84626629) × R
    0.000383499999999981 × 0.662783602257093 × 6371000     		do = 1619.36492554723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38426219--0.38387869) × cos(-0.84652042) × R
    0.000383499999999981 × 0.662593285520656 × 6371000     		du = 1618.8999287569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84626629)-sin(-0.84652042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662783602257093-0.662593285520656)×R²
    abs(-0.38387869--0.38426219)×0.000190316736436991×R²
    0.000383499999999981×0.000190316736436991×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190316736436991×40589641000000     		ar = 2621476.17227983m²